等价无穷小量替换定理的推广本科毕业论文(编辑修改稿)

等价无穷小量替换定理的推广本科毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

x f xg x g x   0211 2 21 2 1()1()li m( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )101 1 01xxfxfxg x g x f xf x f x f x ③ 当 c 时 ,证法同② 综上①②③所述 ,定理 3 成立 . 注 定理 3 说明了在求极限时 ,若某个因子 是 两个 ． ． 无穷小量的和 时 ,只要这 两 ．个 ． 无穷小量满足定理 3中的条件 ,则这个因子就可以用相应的等价无穷小量之和 来替换 . 注 在定理 3 的条件中若 1c ,则结论不真（求这类等价无穷小量之和的运算 问题 ,可以利用泰勒公式 ,亦可用洛必达法则 结合其它方法来求解 ） . 由定理 3可导出 对极限式中的两个无穷小量相减 的因子 使用等价无穷小量 替换的 条件 ,若要进行替换 ,必须满足如下 推论 1: 推论 1 设函 ( ), ( )iif x g x 在 0 0()x 内有定义 ,且有 0( ) ~ ( ) ( ) ( 1 , 2)iif x g x x x i. 若012()lim 1,()xxfx cfx 则 01 2 1 2( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( )f x f x g x g x x x  （ c 可以是有限实 数  或  ） . 推论 1 的证明与定理 3 的证明相仿 ,在此从略 . 注 推 论 1 说明了在求极限时 ,若某个因子是 两个 ． ． 无穷小量 的差时 ,只要这两个 ． ． 无穷小 量满足推论 1 中的条件 ,则这个因子就可以用相应的等价无穷小量之差 来替换 . 注 在推论 1 的条件中若 1c ,则结论不真（求这类等价无穷小量之差的运算问题 ,可以利用泰勒公式 ,亦可用洛必达法则结合其它 方法来求解） . 湖北师范学院文理学院 20xx 届学士学位论文（设计） 7 推论 2 设函数 ( ), ( )iif x g x 在 0 0()x 内有定义 , 0( ) ~ ( ) ( )iif x g x x x( 1,2,i ,)n , 且011()l im 1 ( 1 , 2 , , 1 ) ( 2 ) ,()mxx jjj fx c m n nfx        （ c 可以是有限实数  或  ） , 则011( ) ~ ( ) ( ) ( 2 )nniiiif x g x x x n . 证 对 n 用数学归纳法证之 . ()i 当 2n 时 ,由定理 3 可知 ,结论成立。 )(ii 假设 ( 2)n k k时结论成立 ,即有 011( ) ~ ( ) ( )kkiiiif x g x x x成立 , 那么当 1nk时 , 由 011( ) ~ ( ) ( )kkf x g x x x  0121( ) ( ) ( )l i m 1() kxx kf x f x f xfx    可知 01111( ) ( ) ~ ( ) ( ) ( )kkk i k iiif x f x g x g x x x   即 有 110( ) ~ ( ) ( )kkiiiif x g x x x  所以当 1nk时 ,结论也成立 . 综上 ()i )(ii 可知 ,对 2n都有011( ) ~ ( ) ( )nniiiif x g x x x. 注 显然推论 2 是定理 3 的直接推广 .在使用上把定理 3 中局限于两个无穷小量和的极限替换 ,扩大到任意有限个无穷小量和的极限替换情形 ,从而大大拓展了适用范围 . 注 在推论 2 中 当 ()ifx( 2, , )in 中的一部分无穷小量前 面 用减号相连接时 ,此时可以把这一部分无穷小量改写为加上这个无穷小量的 相反数 ,使得这部分无穷小量前 面 均 用 加 号 相 连 接 , 这 时 只 要 满 足 推 论 2 的 条 件 则 仍然有011( ) ~ ( ) ( ) ( 2 )nniiiif x g x x x n 成立 . 注 在推论 2 的条件中若 1c ,则结论不真（求这类等价无穷小量 的 代数 ． ．和 ． 的运算问题 ,可以利用泰勒公式 ,亦可用洛必达法则结合其它方法来求解） . 湖北师范学院文理学院 20xx 届学士学位论文（设计） 8 乘方运算下的等价无穷小量替换 在利用等价无穷小量替换定理求函数极限的过程中 ,常常会碰到一类不定式0 00 , ,1 极限的问题 ,对 于这些幂指函数的情形现对其作进一步的探究 . 作为准备 ,先证引理 1 引理 [7]1 设函数 ,fg在 0 0()x 内有定义 ,且有 0( ) ~ ( ) ( ),f x g x x x( ) 0,fx ( ) 0,gx 则011~ ( ) .ln ( ) ln ( ) xxf x g x  证 00l im l n ( ) l im l n ( )x x x xf x g x    0011l i m l i m 0l n ( ) l n ( )x x x xf x g x 0()()l n ( )11l i m l i ml n ( ) l n ( ) l n ( )l n l n ( )l i ml n ( )x x x xxxgxfxgxf x g x fxfxfx 01 ( )l i m [ l n 1 ] 0 0 1 1l n ( ) ( )xxgxf x f x       011~ ( ) .ln ( ) ln ( ) xxf x g x  次 证引理 2 引理 [7]2 设函数 ,fg在 0 0()x 内有定义 ,且有 0( ) ~ ( ) ( ),f x g x x x则 0l n (1 ( ) ) ~ l n (1 ( ) ) ( )f x g x x x  . 证 由对数函数的连续性及重要极限 10(1 )lim xx xe 可知 001()1()( ) 0ln (1 ( ))lim()lim ln (1 ( ))ln [ lim (1 ( )) ]xxfxxxfxxffxfxfxfx lne= 1 从而有 0ln (1 ( ) ) ~ ( ) ( )f x f x x x 湖北师范学院文理学院 20xx 届学士学位论文（设计） 9 同理 0ln (1 ( ) ) ~ ( ) ( )g x g x x x 又 0( ) ~ ( ) ( )f x g x x x 由 性质 1 的 等价无穷小量的“传递性”和“对称性”可知 有 0l n (1 ( ) ) ~ l n (1 ( ) ) ( )f x g x x x  . 再证引理 3 引理 3 设函数 ,f gh 在 0 0()x 内有定义 ,且有 0( ) ~ ( ) ( )f x g x x x. ()i 若0 ()lim ( ) ,xx fxh x A 则0 ()lim ( ) xxx gh x A 。 )(ii 若0 ()lim ( ) ,xx hxf xB 则0 ()lim ( )xx hxg xB . 证 ()i0()lim ( ) xxx ghx 0( )ln ( )limxx g x h xe 0lim ( ) ln ( )xx g x h xe  0lim ( ) ln ( )xx f x h xe （由定理 1） 0( ) ln ( )limxx f x h xe 0()lim ( ) fxxxA hx )(ii0 ()lim ( )hxxxg x 0( ) ln ( )limxx h x g xe 0lim ( ) ln ( )xx h x g xe  0()1ln ( )lim hxgxxxe  0()1ln ( )lim hxfxxxe  （由引理 1） 湖北师范学院文理学院 20xx 届学士学位论文（设计） 10 0lim ( ) ln ( )xx h x f xe  0( ) ln ( )limxx h x f xe 0()lim ( )xxhxf xB 注 引理 3 说明了对于幂指函数中的底数和指数中的无穷小量均可用其等价无穷小量 来替换 . 由此来证明 定理 4 设函数 , , ,f guv 在 0 0()x 内有定义 ,且有 0( ) ~ ( ) , ( ) ~ ( ) ( )f x g x u x v x x x. ()i 若0()lim ( ) ,xxx uf x A 则0()lim ( ) xxx vg x A (它是 0 型 )。 )(ii 若0()1lim ( ) ,() xxx u Bfx 则0()1lim ( )() xxx v Bgx (它是 0 型 )。 ()iii 若01()lim (1 ( )) ,xxx uf x C 则01()lim (1 ( )) xxx vg x C (它是 1 型 ). 证 ()i 由引理 3 可知 0 ()lim ( ) xxx vgx 0 ()lim ( )uxxxgx 0 ()lim ( )uxxxf x A )(ii0()1lim ( )() xvxx gx 0()1lim ( )() uxxx gx （ 由引理 3） 01( ) ln ()lim ux gxxx e。