矩阵函数以及应用毕业设计(编辑修改稿)

矩阵函数以及应用毕业设计(编辑修改稿)内容摘要：

都是 的多项式，其次数不超过1n ．因此由矩阵的运算性质， B()可以写成 11201)(   nnn BBBB  ． 其中 110 nBBB ，，  ∈ Mn(F)． 再设 nnnn aaaf    111)( ，则 nnnnnnn IaIaIIf   11)(  ． (1) 于是 ))(())(( 11201 AIBBBAIB nnnnn     ABABBABBABBB nnnnnn 1211220xx0 )()()(     (2) 比较 (1)和 (2)，得 天津科技大学 20xx 届本科生毕业设计 11 nnnnnnnnnnIaABIaABBIaABBIaABBIB11212121010 ． (3) 用 nnn IAAA ,1 ， 依次从右边乘 (3)的第一式，第二式，„，第 n 式，第 n+1 式，得 nnnnnnnnnnnnnnIABAaABABAaABABAaABABAAB11221221122110110． (4) 把 (4)的 n+1 个式子相加，左边变成 零，右边就是 f (A)，故 f(A)=0． 为了继续研究的需要，在这里对上文中提到的伴随矩阵的概念作简单的介绍。 根据线性代数的知识体系，任何一个方阵的伴随矩阵其实是一个和矩阵 逆矩阵 相似的概念。 假如一个 矩阵 是可逆的，可以得到它的伴随矩阵和它的逆矩阵之间是一种倍数的关系。 但是，伴随矩 阵对于不可逆的矩阵也有定义，而且不需要用 除法。 矩阵 A 的伴随 矩阵 可以按下面的方法定义： 代数余子式 ；（ 代数余子式 的定义：在一个 n 阶 行列式 A 中 ,把 元 所在的第 行和第 列的全部元素去掉，剩下的所有元素组成的 阶 行列式 叫做 元 的余子式，记着。 即 ， 就 叫做元 的代数余子式）注意：前面求得的 是一个具体的数而不是一个矩阵。 （ 1）中求得的矩阵转置就是 A 的伴随矩阵，补充：（实际求解伴随矩阵即 A*=adj（ A）：去除 A 的行列式 D 中元素 对应的第 行和第 列得到的新 行列式 1D 代替 ija ，这样就不用转置了） 例 设 A 是 n阶可逆矩阵，则 )(1 AgA  ，其中 g()是一个 n－ 1次多项式． 证 设 A 的特征多项式为 nnnnn aaaAI    111|| ， 通过 HamilionCayley 定理，可以得到   nnnnn IaAaAaA 111  O． 因为 A 是可逆矩阵，所以 0||)1(  Aa nn ，于是上式可化为 nnnnnn IAIaAaAa   )(1 1211 ， 天津科技大学 20xx 届本科生毕业设计 12 这表明 )()(1 12111 AgIaAaAaA nnnnn   ， 其中， )(1)(1211   nnnn aaag 是一个 n－ 1次多项式． 设 F 是一个数域，  是文字，求多项式环 []F ，一个给定的矩阵若它的元素都是关于 的一个多项式，即 []F 的所有元素，这个矩阵就被称作  矩阵 .因为存在于数域 P 中的元素也是 ][P 的数，所以在  矩阵中也包含了以数为元素组成的矩阵 .为了与原有的 矩阵区别开来，我们称数域 P 中的数为元素组成的矩阵为数字矩阵 .在接下来的文章中就用 ),(),(  BA 等表示  矩阵 . 上面提到的多项式环中的环其实是一种代数结构。 在 抽象代数 里，代数结构（ algebraic structure）是指至少具备两个的计算（最常用的操作，可以存在无数个计算）的 非空集合。 一般研究的代数结构有 群 、 环 、 域 、 格 、 模 、域代数和 向量空间 等等。 对于非空集合 R，如果定义了两种代数 运算 +和 *（不一定就是代数中加法与乘法的含义），并且满足下面的条件： 1）集合 R 在运算 +下能组成 阿贝尔群 （ Abel）。 2） *具有 封闭性 ，就是对于任意的a∈ R,b∈ R， 总是 有 a*b∈ R。 3）运算符 *下有 分配律 和 结合律 ，即对于任意的 a∈ R， b∈ R和 c∈ R，总有： a*（ b+c） =a*b+a*c，（ b+c） *a=b*a+c*a，（ a*b） *c=a*（ b*c），我们就把R称作环 （ Ring）。 所以满足上述定义的多项式就被称为多项式环。 我们清楚， ][P 中的元素能进行加或者减或者乘三种计算，并且它们的计算和数的运算规律是相同的 .矩阵的加法和乘法的定义中使用的元素的加法和乘法，所以它可以类似地定义  矩阵的加法和乘法，和数字矩阵运算的 算法规则相同。 通过行列式的本质，可以看到只用了元素的加法和乘法，所以，同理也能定义 nn 的 矩阵行列式 .一般来说，  矩阵的行列式也是一个多项式，它和数字矩阵的行列式具有同样的性质。 定义 一个 nn 的  矩阵 )(A 称为可逆的，如果有一个 nn 的  矩阵 )(B 使 EABBA  )()()()(  , (1) 这里 E 是单位矩阵 .适用 (1)的矩阵 )(B (它是唯一的 )被称作 )(A 的逆矩阵，记作)(1A . 例 已知 0110A ,求 Ate。 解 A 的特征多项式为 2 1IA   ,通过 HamiltioCayley 定理有： 2 0AI ,即 天津科技大学 20xx 届本科生毕业设计 13 2 3 4 5, , , , ,A I A A A I A A      即 2 2 1( 1 ) , ( 1 ) ( 1 , 2 , ) ,k k k kA I A A k     故 01!At k kke A tk 2 4 3 512 ! 4 ! 3 ! 5 !t t t tI t A                 (cos ) (sin )t I t A cos sinsin costt. 利用相似对角化求矩阵函数 设 nnAC 是对角矩阵，那么必有 n 阶的可逆矩阵 P ,使 1 12( , , , ) ,nP A P d ia g       则有110 0 01120 0 0112( ) ( ) ( )( , , , )( ( ) , ( ) , , ( ) ) ,k k kk k kk k kk k kk k k nk k knf A a A a P P P a PPdi ag a a a PPdi ag f f f P                     从而， 112( ) ( ( ) , ( ) , , ( ) ) .nf A t P d ia g f t f t f t P    为了便于理解，这里简单介绍一下文中将会用到的可对角化矩阵、可逆矩阵、 可交换矩阵和变换矩阵的相关概念。 为了告诉概念清晰的对角化矩阵，首先简要说明相似矩阵的概念。 设 ,AB都是 n 阶矩阵，如果存在 n 阶可逆矩阵 P 使 1B P AP ,则称矩阵 A 与矩阵 B 相似，记作。 如果 n 阶方阵 A 能与一个对角矩阵相似，称 A可以对角化。 n 阶的方阵 A 能对角化的充要条件是它具备 n 个线性无关的特征向量。 可逆矩阵是线性代数中经常用到的一种矩阵，它在线性代数中的定义为给定一个 n 阶的方阵 A ，如果存在一个 n 阶方阵 B ， 使得 nAB BA I（或 nABI 、 nBA I 任意满足一个），其中 nI为 n 阶单位矩阵，则称 A 是可逆的，且 B 是 A 的逆阵，记 作 1A。 如果一个方阵有乘法交换律，那么这个方阵就是可交换矩阵，用数学表达式表示就是： A B B A。 变换矩阵是线性代数中的一个数学概念。 在 线性代数 中， 线性变换 能够用 矩阵 表示。 如果 T 是能将 nR映射到 mR 的一个线性变换， 并且 x 是 有 n 个元素的 列向量 ，那么我们就可以将 m n 的矩天津科技大学 20xx 届本科生毕业设计 14 阵 A ，叫作 T 的变换矩阵。 任何一种线性变换都能用矩阵表示，并且它更容易计算，就算有很多线性变换只要正确地使用矩阵乘法就能够将它们连接起来。 如果线性变换函数的类型是 ()Tx，只要通过 T 对标准基中的任意一个向量作简单变换，最后把结果插到矩阵的列中， 所以它是很容易确定的变换矩阵 A ，即： 例 已知 4 6 03 5 0 ,3 6 1A  求 ,cos .AteA 解 2d e t( ) ( 2 ) ( 1 ) ,IA     所以 A 的特征值为 1=2 ， 23= =1。 对应于 1=2 的特征向量 1= , , T （ 111） ；对应于 23= =1 线性无关的特征向量 2 = , , T （ 210） ， 3= , , T （ 001） ，故 1 2 01 1 01 0 1P， 使得 1 2 0 00 1 0 .0 0 1P A P 于是 21000000tA t ttee P e Pe 22222 2 2 02 0 .22t t t tt t t tt t t t te e e ee e e ee e e e e   1c o s( 2 ) 0 0c o s 0 c o s 1 00 0 c o s 1A P P  2 c os 1 c os 2 2 c os 1 2 c os 2 0c os 2 c os 1 2 c os 2 c os 1 0 .c os 2 c os 1 2 c os 2 2 c os 1 c os 1   上面介绍的是一般矩阵，一般矩阵可以通过相似对角化的方法求解矩阵函数，对一般矩阵而言相似对角化的过程必须先求出矩阵的特征向量。 当然矩阵中还有些比较特殊的矩阵，因为他们的特殊性可以将计算简化。 对角 矩阵就是这样的一种特殊矩阵，接着就来介天津科技大学 20xx 届本科生毕业设计 15 绍求对角矩阵函数  fA的方法。 （ A 为一个对角矩阵或者对角矩阵的块）。 (1)矩阵函数为矩阵幂函数  = mf A A 若 A 为对角矩阵，即12nddAd 则由矩阵乘法，有     1 122=mmmmnnd fdfddf A Afdd   若 A 为分块对角矩阵，即12nAAAA，其中  1, 2, ,iA i s … 为子块。 则     1122mmmmssfAAfAAf A AfAA    (2矩阵函数为矩阵多项式 。