电力变压器铁心柱截面的优化设计数学建模一等奖论文(编辑修改稿)

电力变压器铁心柱截面的优化设计数学建模一等奖论文(编辑修改稿)内容摘要：

心柱截面各级面积影响不大 ，所以 我们先借助问题一的结果计算出各级的面积，然后 进行初步筛选出一些可能的油道的位置，经计算发现，只 有 25ab， 26ab两组比较接近，两种位置下的油道之间的面积如下： 通过以上的处理，使得 a 和 b 两个决策变量的范围大大缩小，在编程的过程中只需分开考虑 25ab， 26ab两组值，减少了两个变量。 该模型又是一个多目标规划模型，求解难点在于将多目标转化为单目标。 模型的目标函数如下： Max 111 42niii x y x y  ( 12,13,14)n Min 12ss Min 23ss Min 31ss 由题意，油道的位置应使其分割的相邻两部分铁心柱截面积近似相等，所可以将后三个目标转化为约束条件来处理，对任意两个面积求比，使其小于某个大于 1 的定值。 我们认为近似相等可以考虑成任意两个面积中，较小的应不小于最大的面积的 80%，若小于则不应认为近似相等。 所以后三个目标转化为约束条件后为： . 12 ss  21 ss  分 级 1 2— 4 5— 14 部分面积 /mm2 分 级 1 2— 5 6— 14 部分面积 / mm2 15 13 ss  31 ss  32 ss  23 ss  同问题一求解过程，另增加和修改一些约束如下： . 2111 65042 2niii x y x y     12,13,14n 2inx x x    12,13,14n 25ixk  1,2, ,in ( 1,2, )k 综上，转化之后的求解模型为： Max 111 42niii x y x y  ( 12,13,14)n . 12 ss  21 ss  13 ss  31 ss  32 ss  23 ss  1 1 11 42aiiis x y x y 16 12 2biiias x y 3 2niiibs x y 2 2211 1 6 5 022iijjx y y c       1,2, ,in 0 , ( 1, ..., 1)6 , ( , ..., 1)1 2 , ( , ...,iac i a bi b n   ） 10nx ( 12,13,14)n 1 26y 25ixk  1,2, ,in ( 1,2, )k 0ix  1,2, ,in 0iy  1,2, ,in 2111 65042 2niii x y x y     12,13,14n 2inx x x    12,13,14n 用 lingo 软件进行编程，在编程过程中 n 分别取 1 1 14 三个值， a 和 b分别取 25ab、 26ab两组值，共有 6种不同的取值组合。 经运行发现，只有当 14n ， 25ab时 才可以取到最优解（ 14n ， 25ab时的 程序 见附录 ，运行 结果见附录 ），其他 5 种组合均没有最优解。 按此种情况得出的油道之间的面积如下： 分 级 1 2— 4 5— 14 部分面积 /mm2 可以看出三者之间的比符合要求。 此时铁心柱的最大截面积为 mm2，油道的位置为第 2 级之间和第 5 级之间，铁心柱截面共分 14 级，各级的宽度和厚度如下： 17 级数 1 2 3 4 5 6 7 厚度 /mm 宽度 /mm 级数 8 9 10 11 12 13 14 厚度 /mm 宽度 /mm 模型 的 建立 该模型为总结以上三个模型，综合考虑各个方面得出的一个综合模型。 由模型 的结果可以知，该模型中的油道位置为第 2 级之间和第 5级之间，铁心柱截面共分 14 级，即 14n ， 25ab。 我们设的决策变量有 第 i 级的宽度的一半 ix 、第 i 级的厚 度 iy ，铁心柱外接圆的直径增加量 d。 为了使铁心柱截面积之和最大，有以下目标： Max 14111 42iii x y x y  为了使铁心柱有更好的截面形状，有以下目标： Min 1 4 1 412111 6 5 02 7 2iiiirr 其中， 214211112i i jjr x y y c    ( 2,3, ,14)i  2 6502i dr  ( 1,2, ,14)i  为了使油道相邻的两部分的铁心柱截面积近似相等，有以下目标： Min 12ss Min 23ss Min 31ss 其中， 1 1 11 42aiiis x y x y 18 12 2biiias x y 3 2niiibs x y 铁心柱截面的每个凸顶点均在其外接圆上，故有约束如下： . 2 2211 1 65 022iijj dx y y c       1,2, ,14i  其中， c 表示油道的厚度，表达式为： 0 , ( 1, ..., 1)6 , ( , ..., 1)1 2 , ( , ...,iac i a bi b n   ） 其余约束均同模型 2中的部分约束： . 14 10x  1 26y 2255iixx  1,2, ,14i  0ix  1,2, ,14i  0iy  1,2, ,14i  综上，模型 如下： Min 1 4 1 412111 6 5 02 7 2iiiirr Max 14111 42iii x y x y  Min 12ss Min 23ss Min 31ss . 214211112i i jjr x y y c    ( 2,3, ,14)i  19 2 6502i dr  ( 1,2, ,14)i  1 1 11 42aiiis x y x y 12 2biiias x y 3 2niiibs x y 2 22 111 65 022iijjdx y y c       1,2, ,14i  0, ( 1)6, ( 2, 3, 4)12 , ( 5, ... ,14icii ） 14 10x  1 26y 2255iixx  1,2, ,14i  0ix  1,2, ,14i  0iy  1,2, ,14i  模型 的 求解 由公差设计的国家标准可知，当直径大小为 650mm 时， d 的范围应限制在2d。 该模型有 5 个目标，分别如下： Min 1 4 1 412111 6 5 02 7 2iiiirr Max 14111 42iii x y x y  Min 12ss Min 23ss 20 Min 31ss 和之前的三个模型的处理方法相同，我们 将后四个模型分别转化为约束条件如下： . 14111 4 2 3 0 6 9 1 3 .4iii x y x y  12 ss  21 ss  13 ss  31 ss  32 ss  23 ss  由公差设计的国家标准可知，当直径大小为 650mm 时， d 的范围应限制在2d。 约束为： . 2d 为缩小 lingo 的选择范围，增加运算速度，特增加以下两个约束： . 214111 65042 2iii dx y x y    2 14ix x x   其余约束均与之前的模型相同或相近。 综上，用 lingo 进行求解的模型如下： Min 1 4 1 412111 6 5 02 7 2iiiirr . 14111 4 2 3 0 6 9 1 3 .4iii x y x y  12 ss  21 21 ss  13 ss  31 ss  32 ss  23 ss  214211112i i jjr x y y c    ( 2,3, ,14)i  2 6502i dr  ( 1,2, ,14)i  1 1 11 42aiiis x y x y 12 2biiias x y 3 2niiibs x y 2 22 111 65 022iijjdx y y c       1,2, ,14i  0, ( 1)6, ( 2, 3, 4)12 , ( 5, ... ,14icii ） 2d 214111 65042 2iii dx y x y    2 14ix x x   25ixk  1,2, ,14i  ( 1,2, )k 22 14 10x  1 26y 0ix  1,2, ,14i  0iy  1,2, ,14i  lingo 程序见附录 ，运行结果见附录 ，整理如下： 当 2d 时取得最优解，为。 当 0d 时无最优解，故得不到最大值，但由假设加入油道后铁心柱截面改变不大，可以用模型 2 的最大值 max 结果来近似看作该模型中 0d 时的最大值， 此时 2 m a x4. 46 34 26 = 77 .3 52 7%ww，比模型 2 的结果更 差，仍然没有减小一半。 考虑实际情况，。