用概率论的方法证明组合恒等式毕业论文(编辑修改稿)

用概率论的方法证明组合恒等式毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

,1  之一，故rnr A1为必然事件，即 11   rnr AP  ， 也就是 12121 2   rnnrn rnC 令 rnk  , 则 ,1,1,0  nk  所以 12110   knnkk knC 或 .22110  nknkk knC 例 2 证明组合恒等式当 nk 时， 齐齐哈尔大学毕业设计 (论文 ) 9   11112111 121      knnnknkn nnCnCnC  证明 我们 建立 如下概率模型： 设有 k 张卡片 ，等可能地投入 n个箱子，求每一个箱子中至少有一张卡片 的概率 . 记事件 B 为 每一 箱子中至少有一张卡片 事件 iA 为第 i个箱子中没有卡片 （ ni ,2,1  ） 则 nAAAAB  321 根据容斥原理，得    1 2 3 nP B P A A A A        ni nii ii AAPAP1 1121 21        nnniii iiiiiin AAAPAAAPnnn 2111 11121 121121   因为     kkki nnnAP   111 （ ni ,2,1  ）     kk kii nnnAAP   21221 (对任意的 21 ii ) 依次类推，对任意的 niii  21 ，我们有    knkiiikiiinnAAAPnnAAAPnAAAPn 1113121121321 于是 齐齐哈尔大学毕业设计 (论文 ) 10     niiiikniiknininCAAPnCAP21212112112111 所以     knnnknkn nnCnCnCBP      1112111 121  从而    BPBP 1 即         knnnknkn nnCnCnCBP 11121111 121  但是由于 nk ,事件 B 每 一箱子中至少有一张卡片 为一不可能事件，故 0)( BP ,从而当 nk 时 . .111)1(2111 121     knnnknkn nnCnCnC  例 3 证明组合恒等式 nnCCCC nnnnn 12321 232   证明 我们构造如下概率模型： 有一枚均匀的硬币，我们重复投掷 n次，求它正面向上的 次数的期望。 显然，我们知道 )21,(~ nB ，于是便得出：     nini nniknnknkCkCkkpE0 00 2)21()( 而且 nkk ,2,1k,0 k,1  次试验反面朝上第 次试验正面朝上第 所以便得到 2)()( 01 nEEE ni knk k     那么 220 nkCnnikn 整理后，得 nnCCCC nnnnn 12321 232   齐齐哈尔大学毕业设计 (论文 ) 11 第 3 章 运用概率理论构造 数学模型证明组合恒等式 运用随机变量的数字特征证明组合恒等式 在概率论中 ，我们可以讨论随机变量的数字特征，并且通过随机变量的数学期望而进一步证明一些恒等式。 而运用随机变量的数字特征来证明组合恒等式就是我们依照需要被证明的组合恒等式的特点，然后构造出合适的随机变量，并且利用随机变量的数字特征的定义，性质来证明组合恒等式成立的方法，其中可以利用数学期望，数学方差等。 利用数字特征法是证明组合恒等式的一种比较重要的方法，我们在了解了具体概念后就用一系列的例子加以说明并且具体阐述，从而让我们了解到这种方法是怎 样的一种方法。 引理 若随机变量  的方差 )(D ,则 )(D = )()( 22  EE  ]1[ 引理 伯努利概型设有服从二项分布 ，为非负整数，其中 )n1p0(,2,1,.0},{  niiA i  并有 1)1( nniiniin ppC ]1[ 例 1 证明组合恒等式 kmkmnmnmkin CCC 2 证明 当 m=1 和 m=2 时，我们可以用以下证明方法： 设  ~b（ n， p）， 1qp10),2,1,0(   且pnkqpCP knkknk  当 m=1 时：   nkknkkn npqpkCE0)( 令 p=21 ，则 nknkn nkC112 ，也就是 nknnknk CCC1111 2 当 m=2 时：    nk knkkn npqPCkkEEEE 12 )1()()]1([])1([)(  根据公式 )(D = )()( 22  EE  ，从而得出  nknkn nnCkknpq222)1()1( 令 p=21 ，则 nknkn nnCkk222)1()1( 齐齐哈尔大学毕业设计 (论文 ) 12 以上两个是特例，它的一般性情况证明如下： 运用推广的伯努利概型和多项式分布，我们构造如下概率模型： 设一个盒子中有红黄白三种颜色的卡片若干，每次随机抽取一张，取后放回，这样连续做 n次， 1p 和 2p 表示每次抽取红色卡片与黄色卡片的概率， 1 和 2 表示每次抽到的红色卡片与黄色卡片的次数。 于是（ 1 ， 2 ）服从多项分布，其分布律为 jinjiji ppppjinji njiP  )1()!(!! !},{ 2121 令 21,4121  pp，则联合分布率为： 122 1)!(!! !},{  nji jinji njiP  它的边缘分布为：  mni mipmP 0 212 },{)(  同时 nmnmnmmn CCmPnB 21)21()21()(),21,(~ 22   因为多项分布的边缘分布是二项分布，从而两式相等，也就是： mnmnimni imimn CCC    20 所以证得原组合恒等式 kmkmnmnmkin CCC 2成立。 例 2 证明组合恒等式   11 11 1 1mi i mnminmnCC 证明 我们利用随机变量的数字特征，构造出一下概率模型： 设一个盒子中装有 n张白色卡片， m张黑色卡片，一张接一张地将卡片取出，直到取出白色卡片为止，求平均要取多少张卡片。 这是求一个随机变量 X 的期望值： 记事件 { iX }={取出的前 i1 张卡片全是黑色卡片 }， 令  )(0 )(1 iX iXXi ，那么 xXXXxixixi ixi ii i   11100 01 齐齐哈尔大学毕业设计 (论文 ) 13 由于 iX 非负，所以      1!1 110 )()( imi i mnimxi i CCiXPXEEX 但是我们可以将 EX 更简单的表示形式计算出来，于是我们假设已经把所有的mn 张卡片从盒子中取出来了，同时令 1X 表示第一张白色卡片之前的黑色卡片张数 , 最后 1nX 表示最末一张白色卡片之后的黑色卡片张数，根据 1X 的定义： mExExExmXXX nn   !21121 ,  在考虑 121 , nxxx  的联合分布为 P{ 112211 ,   nn iXiXiX }=)!( !!mn mn，其中 121 , niii  是非负整数，它们的和为 m。 这是因为从盒中取出的 mn 张卡片一共有 )!( mn 种可能方法。 而且，取出的先是 1i 张黑色卡片，接着是一张白色卡片，再接着是 2i 张黑色卡片，接着又是一张白色卡片等等，很明显，共有 !!mn 种可能方式。 因此，就可以得到上述式子。 于是我们可以得到： 121 , mXXX  的联合分布是 121 , niii  的对称函数，所以对任意 n个变量求和，所得到的结果是相同的，于是我们知道 ix 的边缘分布相同。 从而 1 111]1[),1,2,1(1   n mnn mXEXnin mEX ii  于是我们得出   11 11 1 1mi i mnminmnCC 如果采用分析学的方法来证明这个组合恒等式是非常难的，所以我们采用数字特征法来证明。 例 3 证明组合恒等式 nknkn nkC112 , nknkn nnCk122 2)1( . 证明 我们可以 考虑下列随机变量的数字特征 . 设一名篮球运动员在条件相同下向同一篮筐投篮 n 次，每次进球的概率为21 ， 考虑“投进篮筐次数”这个随机变量 X 的数字特征 . 记  次没有进篮筐第 次投进篮筐第 kkX k ,0,1 齐齐哈尔大学毕业设计 (论文 ) 14 则 nXXXX 、 321 独 立 同 为 二 点 分 布 ：    2101  ii XPXP（ ni ,2,1  ） , 且 nXXXX  21 服从二项分布 B(n,21) 所以 EEX ( nXXX  21 )=       nknkknXPXE1 1 1 21         nk knnXnDXDXXXDXD1 121 4 而      nkknnnk kCkXkPXE 10 21   nkknn nkC1 221 即 nknkn nkC112 又      nknkknn CkkXPkXE0 1222 21      XEXDXE 22    nkknn nnCk1222421 即 nknkn nnCk122 2)1( 例 4 证明组合恒等式   rkr nmkrnkm CCC0 证明 考察从由 mn 个 大人 和 n 个 孩子 组成的 家庭队伍中 选取 1r 个 人 参加 亲子 比赛的问题 . 所选 1r 个。