用微分法证明不等式_数学与应用_数学专业毕业论文(编辑修改稿)

用微分法证明不等式_数学与应用_数学专业毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

xf 在  ba, 上满足中值定理的条件 . 例 当 0s 时 , 证明  11211 11   snnsn sssss  分析 不等式两端的式子中都是 1s 次幂 , 而不等式的中间却是 s 次幂 , 因此考虑到应用微分中值定理 . 证明 令   1 sxxf , 则     sxsxf 139。  , 从而     11  sxssxf 对 xf 在区间 ]1,[ ii , ni ,1,0  应用微分中值定理 , 即由引理 1 得                 1,11,1,112,1,1121,0,10111111122111111nnsnnnnsnnssnsnssnsnssssssss 因为 0s , 0x 因此 0 xf ，      kffkf k 39。 39。 139。  , 1,3,2,1  nk  5 即         ssks kssks  1111 , 1,3,2,1  nk  将 k 分别用 1,3,2,1 n 代入得                     ssssssssssssssssnsnnnsnsnnnsssss1111111121121111010111111111 将上面前 1n 个式子的左边相加得        1112101  ssssss nnns  所以    11121 1 snnn sssss  将上面前 n 个式子的右边相加得     ssssss nnsn  121011  综上得  1121111snnsnsssss  用泰勒公式证明不等式 当涉及到二阶或更高阶导数的命题时，可考虑用泰勒公式证明不等式 .其关键是选择在恰当的特殊点（一阶导数值的点、区间端点、最值点、中间点、平均值点）展开 . 例 若 xf 在  ba, 上二 次连续可微 , 02  baf, 证明 :    24 3abMdxxfba , 其中  xfM bxa max 分析 要证的不等式左边的被积函数的具体形式未知 , 而不等式的右边出现了 xf 的形式 , 题目条件又给了 xf 在区间  ba, 上二次可微 , 再结合02  baf , 应该利用 xf 在 20 bax  的泰勒公式进行证明 . 证明 函数 xf 在 20 bax 的泰勒公式即由引理 3 为 6     22!22239。 2      baxfbaxbafbafxf    22212239。     baxfbaxbaf , 在 x 与 2b 之间 . 所以         bababa dxbaxfdxbaxbafdxxf 22212239。          badxbaxfbaabafbabbaf 22222122239。 22239。      ba dxbaxf 2221    dxbaxfba 2221     3323122312    baaMbabM  324 abM  用求极值的方法证明不等式 在不等式的证明中 , 我们常常构造函数 xf , xf 构造好后，如果无法得到   039。 xf 或   039。 xf ， 即当函数不具有单调性时 , 可以考虑用极值的方法证明 . 例 设 n 为自然数 , 试证 tnt entnte   21 (当 nt 时 ) 分析 要证明    xgxf  , 只需求函数      xgxfxF  的极值 , 证明   0min xF 针对本题而言 , 原式等价于ntent tn 211  , 因此只须证明当 nt 时 , 7   0112  。