矩阵的初等变换及其应用(编辑修改稿)

矩阵的初等变换及其应用(编辑修改稿)内容摘要：

1 1 0 0 0 0 7 3rrrrrrrrrrr                                                   A 由 ( ) ( ) 3RRAA,知原方程组有解 ,且有 n  R(A) 有 1 个自由变量 . 先求出相应齐次线性方程组的基础解系 ,令 3 2x ,解出 4 2 10 1 1x x x    ， ，,所以齐次线性方程组的通 解 是 :k (1,1,2,0)T. 再 求出 非 齐次线性方程组的特 解 ,令 3 0x ,解出 4 2 13 7 3 14 5 14x x x   ， ，,特解为T( 5 14 3 14 0 3 7 )， ， ， . 所以方程组 的 通 解 是 : TT( 5 14 3 14 0 3 7 ) ( 1 1 2 0)k   ， ， ， ， ， ，,k 为任意实数 . 第 9 页 判定向量组的线性相关性 , 求极大 线性 无关组 定理 向量组 n  ， ， ， 线性相关 的充分必要条件是它们所构成的矩阵 ()n  Α = ， ， ，的 秩小于向量个数 n；向量组线性无关的充分必要条件是 R(A) n. 推论 设 向量组 12 t  ， ， ， 是向量组 A 的一个部分组 ,且满足 (1) 向量组 12 t  ， ， ， 线性无关； (2) 向量组 A 的任一向量都能由向量组 12 t  ， ， ， 线性表示； 那么向量组 12 t  ， ， ， 便是向量组 A 的一个极大无关组 . 对于向量组 n  ， ， ， ,我们要判定其是线性相关还是线性无关 ,并求出它的一个极大无关组 ,只需 以 这组向量 为 列 构成 矩阵 ()n  Α = ， ， ，,进行初等行变换 ,化成行阶梯形矩阵 R(B) n,则此向量组 n  ， ， ， 线性无关；若 R(B) n,则此向量组线性相关 ,进而位于 B 中每个阶梯的最左端的非零元素所在的列对应的原来向量即是构成原向量组的一个极大无关组 . 例 7 判断下列向量组的线性相关性 ,并给出该向量组的一个极大 线性 无关组 .        Τ Τ Τ1 2 3 41 1 4 2 1 1 2 3 3 2 3 1 1 1 3 1 0 0         　 　 　 　 ， ， ，. 解 : 把行向量组成矩阵 ,用初等行变换化成阶梯形 ,过程如下 : 112 2 13 3 14 4 1121314 1 2 11 1 4 2 1 1 4 21 1 2 4 0 2 6 233 2 3 11 0 5 15 51 3 10 0 0 2 2 21 1 4 2 1 1 4 21 ()0 1 3 1 0 1 3 1210 1 3 1 0 0 0 0( 3 )50 0 0 0 0 0 0 0+                                        　 　　 　 　　 　 　　 　 　　　 　　 　　 　 　 　　 　1213 1 2 1411 ()211( 3 ) ( )522      　　 　　 　 　 　　 　 阶梯形矩阵 中 有两个 非零行的向量 ,知向量组的秩是 2,可见向量组 1 2 3 4   　 　, , , 　 线性相关 ,非零向量是1 2 11 ()2  　 　 　，,所以 12　 　, 是极大线性无关组 . 判断两向量组是否等价 如果 向量组 (Ⅰ ) 12 m  　 　, , , 　 中 的 每个向量都可 以 由向量组 (Ⅱ ) 12 s  　 ， 　 ， ， 中向量线性表 出 ,则称向量组 (Ⅰ )可由 向量组 (Ⅱ )线性表 出 .如果两个向量组可以互相线性表 出 ,则称这两个向量组等价 . 第 10 页 如果 向量组 (Ⅰ) 可由 向量组 (Ⅱ )线性表 出 ,且 1 2 1 2( ) ( )msRR 　 　, , , 　 　 ， 　 ， ，     ,则 两向量组 等价 .因此 ,判断 两 向量组是否等价 ,只需要对以 12 m  　 　, , , 　 与 12 s  　 ， 　 ， ， 为列构成的矩阵 ()A B 施行初等变换 ,使其化为阶梯形矩阵 ,分别得到 R(A),R(B).若 R(A) R(B),则向量组 等价 ,否则它们不等价 . 例 8 判断 下 列 向量组是否等价 . Τ Τ Τ Τ Τ1 2 1 2 3( 1 1 1 1 ) ( 3 1 1 3 ) ( 2 0 1 1 ) ( 1 1 0 2) ( 3 1 2 0)       ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，    . 解 : 以 1 2 1 2 3 ， ， ， ，    为列构成矩阵 ()A B ,然后对它施行初等行变换化成阶梯形 : 213 1 2 34 1 4 323 21 3 2 1 3 1 3 2 1 31 1 0 1 1 0 4 2 2 2 2()31 1 1 0 2 0 2 1 1 11 3 1 2 0 0 6 3 3 31 3 2 1 3 1 3 2 1 30 0 0 0 0 0 2 1 1 10 2 1 1 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0rrr r r rr r r rrr r                                                  Α Β1 3 2 1 30 2 1 1 10 0 0 0 00 0 0 0 0 由阶梯形矩阵 可 得 R(A) 2,容易看出矩阵 B 中有不等于 0 的 2 阶子式 ,故知 R(B)  2.又 ( ) ( ) 2RRB A B,则 R (B)  2. 因此 R (A)R (B),所以向量组 12，与向量组 1 2 3 ， ，   等价 求矩阵的特征值 定义 设 A 是 n 阶矩阵 ,若存在数  及 非零的 n 维列向量 ,使得  0　 　  A () 成立 ,则称 是矩阵 A 的特征值 ,称非零向量 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量 . 定义 行列式 ()f EA称为矩阵 A 的特征多项式 . 0E A 称为矩阵 A 的特征方程 ,具体形式为 : 11 12 121 22 212( ) 0nnn n nna a aa a afa a a         EA () 设 A 是 n 阶方阵 ,E 是 n 阶单位矩阵 ,是矩阵 A 待求的特征值 ,若对矩阵 EA,施行一系列的初等列变换 ,可得到下三角矩阵 B(),令 B()的主对角线上元素的乘积为 0,求得 的值即为矩阵 A 的特征值 . 第 11 页 例 9 求矩阵 1 4 20 1 01 2 2A 的特征值 . 13221311 4 2 2 4 10 1 0 0 1 01 2 2 2 2 1=1 0 0 0 0 10 1 0 0 1 00 0 1 1 0 02 0 00 1 02 2 2 1 2 ( )21 2 ( 1 ) 0 0 10 1 01 2 1 2 ( 1 )cccccc                                               　 　EAE解 ：()() BQ 令 B()的主对 角线 元素之积为零 ,即 21 2 ( ) ( 1 ) 2 0       ,得到矩阵 A 的 特征值 为 1 2 3= = 1 0，   . 化二次型为标准形 用初等变换法把二次型化为标准形 .用非退化线性 替换 x Cy将二次型 f xTAx 化为标准形 ,即找一个非退化矩阵 C,使得 CTAC 为对角 矩 阵 ,相当于 对 A 同时 作若干次同种形式的初等行变换和初等列变换后 将 A 化为对角矩阵 .具体步骤如下： (1) 先写出二次型的矩阵 A,构造矩阵  |AE ； (2) 对  |AE 进行初等行变换 ,再对 A 进行同样的初等列变换 ,当子块 A 化为对角矩阵 D 时 ,子块 E 也相应地化为 CT； (3) 写出非退化线性替换 x Cy 及二次型的标准形 f yTDy. 例 10 化二次型   2 2 21 2 3 1 1 2 1 3 2 2 3 3 2 4 4 5 8 5f x x x x x x x x x x x x     ， ， 为标准形 ,并写出所用 可逆变换 的 矩阵 . 解 : 写出此二次型的矩阵 A 与三阶单位矩阵 E, 2 2 22 5 42 4 5。