矩阵初等变换及其应用所有专业(编辑修改稿)

矩阵初等变换及其应用所有专业(编辑修改稿)内容摘要：

=2r（ B） =3，方程组无解。 在判定含有参量的线性方程组有没有解及有多少解的问题时，需要注意的是：由于所含的参数是不确定的数值，所以在对增广矩阵施行行初等变换的时候，应当考虑作变换时所用的“数”（如果它是含参量的一个代数式）是否可能为零（对某参量的取值），是否有意义，即（无论参量的取值如何）分母是否为零等，以决定所作的变换是否可施行。 解线性方程组 的一般解 及基础解系 线性代数的起源之一 ， 是解线性方程组的问题。 解一个线性方程 组最基本的方法是所谓“ 加减 消元法”。 这种方法有三个基本操作：方程组中两个方程互换 ， 一个方程两边乘一非零常数 ， 一个方程加另一个方程的若干倍。 用初等行变换解线性方程组的步骤是： （ 1） 将增广矩阵 B=（ Ab）化为行阶梯矩阵，若 R（ B）  R（ A），则方程组无解；若 R（ B） = R（ A），则进行下一步。 （ 2） 将增广矩阵进一步化为行最简形矩阵； （ 3） 写出同解方程组（用自由未知量表示其余未知量）； （ 4） 写出方程组的通解（参数形式或向量形式）。 例 1 求线性方程组1 2 3 42 3 41 2 42 3 42 3 4 433 3 17 3 3x x x xx x xx x xx x x               的解。 解：设 B 是线性方程组的增广矩阵，于是 B=1 2 3 4 40 1 1 1 31 3 0 3 10 7 3 1 331rr1 2 3 4 40 1 1 1 30 5 3 1 30 7 3 1 3324257rrrr 1 2 3 4 40 1 1 1 30 0 2 4 120 0 4 8 24433212rrr1 2 3 4 40 1 1 1 30 0 1 2 60 0 0 0 0 于是，得到 同解 的方程组为 1 2 3 42 3 4342 3 4 4326x x x xx x xxx       将这方程组改写为 1 2 3 42 3 4342 3 4 4362x x x xx x xxx       通过回代 ，将 4x 作为自由未知量，得到原方程组的一般解： 124348362xxx。 例 2 求四元齐次线性方程组 1 2 31 2 3 42 3 020x x xx x x x      的一般解和一个基础解系。 解 ： A= 2 3 1 01 2 1 112rr 1 1 2 11 2 1 121rr 1 1 2 10 1 3 212rr 1 0 5 30 1 3 2， 得到一般解： 1 3 42 3 45332x x xx x x    由此可得到方程组的一个基础解系为    125 , 3 , 1 , 0 , 3 , 2 , 0 , 1TT   。 利用矩阵初等变换解线性方程组就是将方程组的增广矩阵进行初等变换，从而得到与原 方程组同解的梯形 线性方程组。 再通过回代得到原方程组的一般解。 在解线性方程组的时候只允许使用交换系数矩阵中的两列，而不得使用其余的两种初等 列变换，此时相当于交换两个未知量的次序。 但是，在实际解方程组时，我们不必要这么做， 更不要把最后一列与前面某一列交换。 此外，由于其余两种初等列变换不是“同解变换”， 因此在解方程组时，不允许使用。 证向量的线性相关性 、 求向量组的极大无关组 求向量组的极大线性无关组 ,最方便 ,最常用的方法可能要数初等变换法了 ，这也 是我 们 最容易掌握的。 定义 1： 设 1 2 r  ， ， 是向量空间 V的 r 个向量。 如果存在 F 中不全为零的数 a1， a2， ar 使得 1 1 2 2 r ra a a 0     ，那么就说 1 2 r  ， ， 线性相关。 定义 2：设向量组 T。 如果它的一个部分组 1 2 r  ， ， 满足： （ 1） 1 2 r  ， ， 线性无关； （ 2）任取  T，则  ， 1 2 r  ， ， 线性相关。 则称部分组 1 2 r  ， ， 为向量组T 的一个最大无关组。 定理 1：设 r n，则 n 维向量组 1 2 r  ， ， 线性无关的充分必要条件是它构成的矩阵 A= 1 2 r  ， ， 的秩等于向量的个数 r。 证向量组的线性相关性的步骤是： 一、求向量组所构成的矩阵的秩； 二、比较向量组所构成的矩阵的秩与向量组向量的个数。 若向量组所构成的矩阵的秩等于向量组向量的个数，那么，向量组线性相关。 若向量组所构成的矩阵的秩小于向量组向量的个数，那么，向量组线性无关。 例 1 已知 1b 1 31T（ ， ， ） ， 2b 1 2 2T（ ， ， ） ， 3b1 T（ ， 1， 3），试讨论向量组 b1,b2,b3 和向量组 b1， b2 的线 性相关性。 解： （ b1,b2,b3） = 1 1 13 2 11 2 3 32r r 1 1 10 1 20 1 2 23325rrrr 1 1 10 1 20 0 0 r（ b1,b2,b3） =2,向量组 b1,b2,b3 线性相关； r（ b1,b2） =2，向量组 b1,b2 线性无关。 例 2 k 取何值时，向量组 1 (1,3,6, 2)T  ， 2 (2,1, 2, 1)T ， 3 (1, 1, , 2) Tk   线性无关。 解：构造矩阵（ 1 2 3,   ），由于  1 2 3,   =1 2 13 1 1622 1 2k213141362rrrrrr1 2 10 5 40 10 60 5 4k32422rrrr1 2 10 5 40 0 20 0 0k 当 k 2 时，矩阵的秩等于 3，等于向量的个数， 1 2 3,   线性无关。 定义：向量组  12, n   的一个部分向量组  12, ri i i  叫做一个极大线 性无关 部 组（简称极大无关组），如果 （ 1）12, ri i i  线性无关； （ 2）每一 j ， j=1，„ n，都可以由12, ri i i  线性表示。 利用矩阵的初等变换将向量组堪称某个矩阵 A的列（行）向量组，然后用初等行（列）变换将 A 化为阶梯形矩阵 B，则向量组的秩等于阶梯形矩阵 B 的非零行（列）的行（列）数，在 B 中找出一个阶数最高的非零子式 rD ，那么与 rD 中这 r 列（行）相对应的 r 个向量12, ri i i  就是原向量组的一个极大无关组。 例 3 求向量组 1 (1, 1, 0, 0)T  ， 2 ( 1, 2,1, 1)T    ， 3 (0,1,1, 1)T ，4 ( 1,3, 2,1)T  ， 5 ( 2, 6, 4, 1)T   的 极 大线性无关组，并将其余向量用 极 大线性无关组表示。 解：设 A= 1 2 3 4 5( , , , , )    =1 1 0 1 21 2 1 3 60 1 1 2 40 1 1 1 1    。 对 A 作初等变换，将其化为行阶梯矩阵，即 A=1 1 0 1 21 2 1 3 60 1 1 2 40 1 1 1 1    21rr1 1 0 1 20 1 1 2 40 1 1 2 40 1 1 1 1    324234rrrrrr 1 1 0 1 20 1 1 2 40 0 0 3 30 0 0 0 0  313r1 1 0 1 20 1 1 2 40 0 0 1 10 0 0 0 0  2313122rrrrrr1 0 1 0 10 1 1 0 20 0 0 1 10 0 0 0 0 故 r（ A） =3。 该行阶梯矩阵每个非零行第一个非零元所在的列为第 1， 2， 4 列，所 以， 向量组的一个 极 大线性无关组为 1 2 4,   ，且 3 1 2  ， 5 1 2 42     。 向量组的极大无关组不是唯一的，但向量组的任意两个极大无关组之间等价。 一个向量 组的所有极大无关组所含的向量的个数都是。