浅析vandermonde行列式的性质与应用毕业论文(编辑修改稿)

浅析vandermonde行列式的性质与应用毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

. .. . .. ....( ) ( , .. . , )........ . .. . .. . .. . .. ....nk k k knn k k k knk k k knn n n nnx x x xx x x xf x V x x x xx x x xx x x xx x x x       = 2 1 3 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )nx x x x x x x x    ))(()( 2223 xxxxxx n   „ „ „ „ ))(( 11   nnn xxxx ()nxx = 12( ) ( ) ... ( )nx x x x x x  1 ()ijj i n xx    (ii)由 上 式的两端分别计算多项式 kx 中项的系数 .在 上 式 左端，由行列式 计算 kx 的系数为 ： 行列式中该元素对应的代数余子式 ( 1)kn ()nkV ， 在 上 式右端，由多项式计算 知 12, ,..., nx x x 为 ( ) 0fx 的 n 个不同根 ， 根据根与系数的关系，kx 项的系数为 ： ( 1)nknka   1212, ... ... nknk p p pp p p x x x 1 (x x )ijj i n  (k=0,1,2„n 1) 其中 12, ... nkp p p 是 1， 2„ n 中（ nk ）个数的一个正序排列，12, ... nkp p p表示对所有（ nk ）阶排列求和 . （ iii）比较 )(xf 中 kx 项的系数，计算行列式 )(knV .因为 (*)式左右两端 kx 项系数应该相等，所以 ( 1)kn )(knV ( 1)nk 1212, ... ... nknk p p pp p p x x x 1 (x x )ijj i n ， 则1212() , ... ... nknkn k p p pp p pV x x x  1 (x x )ijj i n  1212 ... ... nknk p p pp p p x x x   V (k=0,1,2„n 1) 定理得证 . 宁夏师范学院 20xx 届本科毕业生毕业论文 7 4 Vandermonde 行列式的应用 Vandermonde 行列式在 行列式计算 中的应用 计算 准 Vandermonde 行列式 利用 Vandermonde 行列式推广的性质定理可以计算各阶准 Vandermonde 行列式 （ 缺行 的 Vandermonde行列式也叫做超 Vandermonde行列式或准 Vandermon de 行列式 ）， 简便易行 [6].特 别 地 ，当 kn 时，令 0p =1， ()nkV 即为 Vandermonde行列式 nV . 例 1 计算准 Vandermonde 行列式 1 2 3 4 5 62 2 2 2 2 21 2 3 4 5 66 ( 3 ) 4 4 4 4 4 41 2 3 4 5 65 5 5 5 5 51 2 3 4 5 66 6 6 6 6 61 2 3 4 5 61 1 1 1 1 1a a a a a aa a a a a aVa a a a a aa a a a a aa a a a a a 解 由定理， n =6,k =3,所以 1 2 31 2 36 ( 3 ) p p pp p pV a a a   61 )(ij ji aa = 1 2 3 1 2 4 4 5 6( ... )a a a a a a a a a    61 )(ij ji aa 计算特殊的行列式 Vandermonde 行列式在 行列式计算 中的应用 ，除了应用其 推广的性质定理 来 计算各阶准 Vandermonde 行列式 之外，还可以用以下一些方法来计算某些类似 Vandermonde 行列式 的 特殊的行列式 . （ 1）法一 : 所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，但其方幂 次数或其排列与 Vandermonde 行列式不完全相同，需 利用行列 的 性质（如提取公因式，宁夏师范学院 20xx 届本科毕业生毕业论文 8 调换各行（列）的次序等）将 其 化为 Vandermonde 行列式 [7]. 例 2 计算 n 阶行列式 nnnnnnD22 222111 解 nD1212122211111!nnnnnn )1()13)(12(!  nn  )]1([)2()24)(23(  nnn  !n )!1( n )!2( n !2 !1 （ 2） 法二 ： 利用行列式性质，改变原行列式中的元素，产生以新元素为行（列）的 Vandermonde 行列式 . 例 3 计算 )1( n 阶行列式 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbababaabbababaabbababaaD1111212111112122222221221111212111111  其中 0ib ， 0ia ，（ 1,2,1  ni  ） 解 提取 1nD 各行的公因式，得 ： nnnnn aaaD 211  11222211111)(1)(1)(1nnnnnnnabababababab（ Vandermonde 行列式） 宁夏师范学院 20xx 届本科毕业生毕业论文 9 上式右端 的 行列式是以新元素112211 ,nnababab  为列元素的 1n 阶 Vandermonde行列式，所以 ： 1nD = nnnn aaa 21  11 )(nij jjii abab （ 3） 法三 ： 如 n 阶行列式 nD 的第 i 行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含有相同分行（列），且 nD 中含有 n 个分行（列）组成的Vandermonde 行列式，那么将 nD 的第 i 行（列）乘以（ 1 ）加到（ 1i ）行（列），消除一些分行（列），即可化成 Vandermonde 行列式 [8]. 例 4 计算行列式 △ 4=434233322322213124243232221214321s i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i n1s i n1s i n1s i n11111 解 在 △ 4的第 2 行中去掉与第一行成比例的分行，得到 △ 4=434233322322213124243232221214321。