构造法证明不等式毕业论文(编辑修改稿)

构造法证明不等式毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

a f n  命题 4 若 ()( 1)n fna fn ， 0, (0) 1naf，则1 ( ),nkk a f n n N  前两个命题的证明很简单，命题 1 用反证法，命题 2 在一直不等式两边取对数即化归为命题 1,。 这两个命题是对偶的。 命题 3 和命题 4 是对偶的。 下面看两个实例： 例 1 证明对任意的 *,mn N ,不等式 1 1 1...ln( 1 ) ln( 2 ) ln( ) ( )nm m m n m m n      恒成 14 立。 分析：当把 m 固定时，就是关于 n 的不等式，符合命题 1 的条件。 证明：由命题 1，我们只需证明 11ln( ) ( ) ( 1 )nnm n m m n m m n   （ 1）l n ( ) ( ) ( 1 )m n m n m n      （ 2） 由此可构造函数 2( ) lnf x x x x   则 21 2 1( ) 2 1 xxf x xxx      , 显然当Embedded LINGO Model110 , ( ) 0。 , ( ) 022x f x x f x    . ()fx在 12x 时取极大值。 即 11( ) ( ) ln 2 024f x f    在区间 (0, ) 上恒成立。 有 ( ) l n ( ) ( ) ( 1 ) 0f m n m n m n m n         11ln( ) ( ) ( 1 )nnm n m m n m m n   成立  1 1 1...l n ( 1 ) l n ( 2 ) l n ( )1 1 2 1[ ] [ ] . . .( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )()m m m nn n n nm m n m m n m m n m m n m mnm m n                   例 ： 133 6 9 3 3 2...2 5 8 3 1 2nnn       ，对任意的正整数恒成立。 分析：对许多和正整数有关的命题，可以考虑数学归纳法。 但数学归纳法比较繁琐，而且容易宁波大学理学院本科毕业设计（论文） 15 掩盖问题的数学本质。 对于一个较难的问题，可能我们使用数学归纳法不需要触及到问题的本质，只需要按部就班的运用就可以 使问题获解，但即使我们给出了解答，也很是迷茫。 于是我们将变形为 33 6 9 3 3 2...2 5 8 3 1 2nnn     。 证明：先证明 33 323 1 3 2 121 1 3313 1 3 1 3 1 3 12nnnnn n n n                   为此，构造函数 ( ) (1 ) 1nf x x nx    只需证明 ( ) (1 ) 1 0nf x x n x    在 [1, ) 成立即可。 这几乎是显然的，就是伯努利不等式。 33 3 23 1 3 1nn成立 3 3 3 3 33 6 9 3 3 6 9 3... ...2 5 8 3 1 2 5 8 3 15 8 11 3 2 3 2...2 5 8 3 1 2nnnnn                                     即 133 6 9 3 3 2...2 5 8 3 1 2nnn       。 证毕 从总体上看，数列型不等式是相当广泛的。 而上面的方法好处在于能够让我们较快的发现需要构造的函数，触及问题的核心，使问题获解。 其他例子 如果不是这种类型的不等式呢。 我们看下两例 例 3 证明：对任意的实数 x ，均有22 1 1 2 12 1 2xx    。 证明：构造函数2 1() 1xfx x  ，当 1x 时 16 则2 2 21 1 1 1() 21 ( 1 1 ) 1 ( 1 ) 2( 1 ) 2( 1 ) 21x x xfx x x x xxx               令 2()g t tt，就是对勾函数。 利用对勾函数的单调性知道 1x 时， 11()( 2 ) ( 2 )fxgg ，即 222 1 1 2 1 1,02 1 2 1xx       1x 时， (1) 0f  综上所述 22 1 1 2 12 1 2xx     下面的这道例题选自《代数不等式》： 例 4 对于正数 ,xy， ( , )=ln lnxyL x y xy xy ( , )=Lxx x =xy 叫做 x,y 的对数平均数， +( , )= 2xyM x y 叫做算术平均数， ( , )=G xy xy 叫做几何平均数。 本文将证明下列不等式： ( , ) ( , ) ( , )G x y L x y M x y。 证明：首先证明前一个不等式： (x,y) ( , )G L x y。 证明：不妨设 xy ， 1，当 xy时欲证 ln lnxyxy xy 只需证明 1lnxx yxyy  宁波大学理学院本科毕业设计（论文） 17 在上式中，令 = , 1xtty，即得： 212lntt t () 作函数 2(t)=t 2 ln 1g t t。 则 ( ) =2( 1lnt)g t t 作函数 ( )= 1lnh t t t ，则 1 1( ) =1 = tht tt ，由此可以看出 =1 ( )t h t是 的 极 小 值 点，因此有   (1)=0h t h 所以  0gt。 ()gt 是 单 调 递 增 函 数。 当    t 1 g 1 =0t时 ， 有 g 即 （ ） 成 立。 2，当 = ( , ) = L ( x , x ) = xx y L x y时 ， 按 照 定 义 ， ( , )=G(x,x)=xG x y 显然有 ( , )= ( , )G x y L x y .. 综上所述 ( , ) ( , )G x y L x y 成 立。 接下来证明 ( , ) ( , )L x y M x y 即 当 xy 时，有 18 +ln ln 2x y x yxy （ 1） 当 +x=y =2xx 时 ， x 不妨设 xy 欲证不等式（ 1）成立只需证明 1 +1 2lnxxyyxy (2) 在（ 2）中令 = , 1xtty，即 1 +1ln 2ttt （ 3） 作函数 (t)=tlnt+lnt2t+2。 导数    1 l n( t) = , t 1 1 = 0 .t t t tt   当 时 ， 显 然 有 ，即当 t1时， t)（ 时减函数。 所以 (t) (1)=0 ， 3 成立，（ 2）成立，（ 1）成立。 当 = ( , ) = ( x , )x y M y时 ， 显 然 有 L x y。 综上所述，有 ( , ) ( , )L x y G x y 成立。 不等式 ( , ) ( , ) ( , )G x y L x y M x y 得证。 构造方程 构造方程模型证明不等式，往往和一元二次方程联系起来，有时这种 选择是最佳的。 把不等式转化为 2 4b ac  的形式，大多情况下需要考虑根的分布情况，利用根与系数的关系求解。 历史上，著名的柯西不等式就是运用构造方程的方法解决的。 例 5 已知 ,abc R ，求证： 2( 2 ) 3 ( 2 ) ( )b a c a b c a c     。 证明： ac 时 不等式显然成立。 将不等式变形为 宁波大学理学院本科毕业设计（论文） 19 2[ 2 ( 2 ) ] 12 ( 2 ) ( )b a c a b c a c     ， 则式 2[ 2 ( 2 ) ] 12 ( 2 ) ( )b a c a b c a c      当 ac 时，可以看作一元二次方程 23 ( ) 2( 2 ) 2 0a c x b a c x a b c        （ 1） 的判别式。 观察知道 1x 是（ 1）的一个根，因此判别式 2[ 2( 2 ) ] 12( 2 ) ( ) 0b a c a b c a c       即 2( 2 ) 3 ( 2 ) ( )b a c a b c a c      等号成立的条件是 2( 2 ) 23( )b a cac，即 2a b c。 当然，此题方法不止一种 证法二：作差法 2 2 2 22 2 2222( 2 ) 3 ( 2 ) ( ) 4 2 4 42 ( 2 ) 4 42 ( 2 ) ( 2 )( 2 ) 0b a c a b c a c a b c a b a c b ca a b c b b c ca a b c b ca b c                         2( 2 ) 3 ( 2 ) ( )b a c a b c a c       成立的条件是 2a b c 评注：这里用到了主元法。 构造数列 构造数列证明不等式，主要是利用数列的单调性。 例 6 对一切大于 1 的自然数，证明： 1 1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) . . . ( 1 )3 5 2 1 2nn     分析：这是上面所说的数列型不等式，因此可以构造相应的函数证明。 但除此而外，也可以 20 构造数列进行证明。 证明：构造数列 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) .. .( 1 )3 5 2。