二元连续函数在有界闭区域上的最值研究_毕业论文(编辑修改稿)

二元连续函数在有界闭区域上的最值研究_毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

求解方程组可得函数 ),( yxf 的驻点 ),3,2,1)(,( iyxp iii ,因为驻点 ),3,2,1)(,( iyxp iii 不一定都是 ),( yxf 的极值点 ,所以还要对驻点进行判别 ,令 ),(39。 39。 39。 39。 iixxxx yxfZA  , ),(39。 39。 39。 39。 iixyxy yxfZB  ),(39。 39。 39。 39。 iiyyyy yxfZC  .同在圆域内的判别方法一样 ,将 02 ACB 的驻点代入到 ),( yxfZ 中求出相应的函数值 ).,3,2,1)(,(  iyxfZ iii （ 5） 对于二元函数在椭圆域边界上的最值 ,我们同样可以用两种方法来进行讨论 .方法一 :拉格朗日乘数法 .令 ],[),1(),(2222 aaxbyaxyxfl   ,对它求一阶偏导数之后 ,令 ,01,02),(,02),(222239。 239。 39。 239。 39。 byaxlbyyxflaxyxflyyxx 解方程组可得到椭圆域边界上的极值点 ),3,2,1)(,( jyxM jjj ,代入函数 ),( yxfZ 中 ,求得椭圆域边界上的函数值 楚雄师范学院毕业论文（设计） 5 ).,3,2,1)(,(  jyxfZ jjj （ 6） 综合上述得出椭圆域内的函数值（ 4）和椭圆域边界上的函数值（ 5） ,通过比较所得函数值的大小可得到二元函数 ),( yxf 在椭圆域上的最大值和最小值 . 方法二 :转换法 .将椭圆方程 ],[,12222 aaxbyax  ,变形为2222axbby  ,代入到二元函数 ),( yxfZ 中 ,可得到一个一元函数 ],[),(2222 aaxa xbbxfZ  ,对这个一元函数求极值（即二元函数 ),( yxf 在椭圆域边界上可能的函数值）得 ).,3,2,1)(,(2222  kaxbbxfZ kkk （ 7） 再求 出 ],[),(2222 aaxa xbbxfZ  的端点值 )0,(1 afZk  , )0,(2 afZk  （ 8） 综合上述椭圆域内的函数值（ 5）和椭圆域边界上的函数值（ 7）与（ 8） ,通过比较所得函数值的大小 可得到二元函数在椭圆域上的最大值和最小值 . 例 2 求二元函数 2),( 22  yxyxf 在椭圆区域 }149|),{( 22  yxyxD 上的最大值和最小值 . 解 由 }1|),{(,02),(,02),(222239。 39。 byaxyxyyxfxyxfyx其中 可得 ),( yxf 唯一的驻点 )0,0(p ,再求出 2),(39。 39。  yxfA xx , 0),(39。 39。  yxfB xy , 2),(39。 39。  yxfC yy .因为当驻点为 )0,0(p 时 , 042  ACB ,所以驻点 )0,0(p 不是二元连续函数 ),( yxf 的极值点 ,也就不是最值点 ,故舍去 .对于二元函数 ),( yxf 在椭圆域边界上的最值 ,我们可用两种方法来求解 . 1）拉格朗日乘数法 .设 ]3,3[),149(2 2222  xyxyxl ,先对它求一阶偏导数 ,再令 楚雄师范学院毕业论文（设计） 6 ,0149,0212,09222239。 39。 39。 yxlyylxxlyx 由方程组可得到椭圆域边界上可能的最值点有 )2,0(1M , )2,0(2 M , )0,3(3M , )0,3(4 M .将它们分别代入到二元函数 ),( yxf 中 ,可求得相应的函数值 2)2,0(1 f , 2)2,0(2 f , 11)0,3(3 f , 11)0,3(4 f .综合上述两种情况得出的函数值有 2 和 11,通过比较函数值的大小可得到函数),( yxf 在椭圆域边界上的最大值为 11,最小值为 2 . 2） 转换法 .将椭圆方程转化为 ]3,3[,944 22  xxy ,代入到函数 ),( yxf 中 ,可得到一个一元函数 ]3,3[,2913)( 2  xxxfZ ,对它求一阶导数可得 xxfZ 926)(39。 39。  ,令 0926)(39。  xxf ,求解方程可得一元函数 )(xf 的 极值点 0x ,代入到函数 )(xf 中 ,得到最值 2)0( f .再求得曲线的上下界函数值 11)3( f , 11)3( f .综合上述所得椭圆域内的函数值和椭 圆域边界上的函数值2 和 11,通过比较所得函数值的大小从而得到函数 ),( yxf 在椭圆域上的最大值为 11,最小值为2 . 二、二元连续函数在多边形区域上的最值 二元连续函数 ),( yxfZ 在 n 边形区域 D 上的最值问题 ,随着边界的复杂程度加大 ,对它的求解难度也在加大 ,但在总体上还是可以分为区域内和区域边界上两部分进行讨论 . 对于 n 边形区域内的最值 ,我们对函数 ),( yxfZ 求一阶偏导数之后 ,令    DyxyxfZ yxfZyyxx in t),(,0),( ,0),(39。 39。 39。 39。 可求得函数在 n 边形区域 D 内的驻点 ),3,2,1)(,( iyxp iii ,因为驻点 ),3,2,1)(,( iyxp iii 不一定都是函数的极值点 ,令 ),(39。 39。 39。 39。 iixxxx yxfZA  , ),(39。 39。 39。 39。 iixyxy yxfZB  , ),(39。 39。 39。 39。 iiyyyy yxfZC  ,将满足条件 02 ACB 的驻点代入到 ),( yxfZ 中求出相应的函数值 ).,3,2,1)(,(  iyxfZ iii （ 9） 楚雄师范学院毕业论文（设计） 7 n 边形区域是由 n 条直线段围成的封闭区域 ,其边界有 n 条直线段构成 ,朗格朗日乘数法就很难求解 ,所 以 我 们 用 转 换 的 思 想 方 法 求 n 边 形 区 域 边 界 上 的 最 值 问 题 .将 直 线 段 方 程),3,2,1]。 ,[( nibaxl iii  ,分别代入到二元函数 ),( yxfZ 中 ,通过代换可得到相应的一元函数),2,1]。 ,[)(( nibaxxf iii  ,对它求一阶导数可得 ),2,1]。 ,[)((39。 nibaxxf iii  ,令 0)(39。 xfi ,可求得函数 )(xfi 的极值点 ),3,2,1( nixi  ,代入到函数 ),2,1]。 ,[)(( nibaxxf iii  中 ,求得相应的极值（可能的最值）。