不等式的证明及其运用毕业论文(编辑修改稿)

不等式的证明及其运用毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

qpqiiiiiiiiababab a bpqaba b a babpq abab     于 是 令得（ 加时的不等式两端分别相，再对（两端同时乘以 nkba niqqinippi ,2,1))(1111 得  niqqinippiini i baba 11111 ))（（ 9 由 holder 不等式我们可以看出当 西不等式时就是我们所熟知的柯2 qp . 2 柯西不等式 柯西（ Cauchy）不等式 1 柯西不等式几何证明 柯西不等式 在数学中的用途非常广泛 且十分重要 ， 我们 在 对柯西不等式有 个概括性了解之前， 有必要先对柯西不等式做一个直观的了解，现在就对柯西不等式的二维、三维情况做出简单的几何解释。 （ 1）二维形式 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a b c d a c b d    yxQ (c, d )P(a , b )O 图 21 如图，可知线段 OP ， OQ及 PQ的长度分别是 2 2 2 2 2 2, , ( ) ( )O P a b O Q c d P Q a c b d         表示 OP 与 OQ的夹角。 由余弦定理，有 222 2 c o sP Q O P O Q O P O Q     将 OP ， OQ ， PQ 的代入，得到2 2 2 2c o sa c b da b c d     而 20 cos 1，故有 222 2 2 2()c o s 1( ) ( )a c b da b c d  10 即 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a b c d a c b d    这就是柯西不等式的二维形式。 当且仅当 2cos 1 ，即  是零或平角，亦即当且仅当 ,OPQ 在同一条直线上时等号成立。 （ 2）三维形式 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )a a a b b b a b a b a b       对于三维情形，设 1 2 3 1 2 3( , , ) , ( , , )P a a a Q b b b是不同于原点 (0,0,0)O 的两个点，则 OP 与OQ之间的夹角  的余弦有 1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3c o sa b a b a ba a a b b b       又因为 2cos 1 ，得到柯西不等式的三维形式 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )a a a b b b a b a b a b       当且仅当 ,OPQ 三点共线时，等号成立；此时只要这里的 1 2 3,bb b 都不是零，就有3121 2 3aaab b b 柯西不等式的主要形式 是任意实数，则设 naaa 21 ,  22211 nnbababa      2222122221 kk bbbaaa   ，等号当且仅 ii kab 时 成立（ k为常数， ni 2,1 ）时成立 . 方法一 6 证 构造二次函数       2222211)( nn bxabxabxaxf   =     2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 22nnn n n na a a x a b a b a b x b b b           2212 0nna a a         2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 24 4 0nnn n n na b a b a b a a a b b b             11   0fx恒成立 即      2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2nnn n n na b a b a b a a a b b b          当且仅当  0 1, 2iia x b i n  ，即 1212nnaaab b b   时等号成立 方法二 证 运用数学归纳法当 不等式成立），有（ ,1 2121211 baban  当 22112222222122211 2)(,2 babababababan  时 212222212222212122212221 )( bababababbaa  ）（ 又因为 ,2 221121222221 babababa  所以有      2221222122211 bbaababa  当且仅当 2211 baba 时等号成立 . ，时不等式成立假设 kn  ))(()( 222212222122211 kkkk bbbaaabababa  当且仅当 时等号成立nnbababa 2211 . 时，当 1 kn ))(())(())(()(2))(()(2)()(2222122221212222121222212121212212212121212222122221212122111122221222212121221111222112112211nnkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkbbbaaabbbbaaaabaabbaabbabbbaaababababababbbaaababababababababababababa 当且仅当 时等号成立112211kkkk babababa 所以 1kn 时不等式成立 12 除此之外柯西不等式还有其他两种主要表述形式 （ 1）当 0 时，式显然成立。 以下设 0 .令 t是一个实变数，作向量   t 记  ),(),c os (  （ 1） 由（ 1）可知，不论 t取何值，一定有 0),(),(    tt 即 0),(),(2),( 2  t  （ 2） 取),( ),(   t代入（ 2）式，得 0),( ),(),(2    即 ),)(,(),( 2    两边开方便得  ），（ 当 , 线性相关时，等号显然成立。 反过来 ，如果等号成立，由以上证明过程可以看出，或者 线性相关，也就是说或者    ,0),( ),(,0 。 8 （ 2）柯西不等式的三角形式  ni ini ini ii baba 12121212121 )()()( 当且仅当 ii kba 时等式成立 . 证 因为ini iiini iini ii bbaababa    1112 )()()(  ni ii ba12)( 由柯西不等式 2112211)()()(   ni ini iiini iiabaaba （ 1） 2112211)()()(   ni ini iiini iibbabba （ 2） 当且仅当 ii kba 时等式成立，由（ 1）（ 2）得 13      nini iini iini iibababa1 1212212212121)()()()( 所以  ni ini ini ii baba 12121212121 )()()( 当且仅当 ii kba 时等式成立 . (3)积分形式的柯西不等式 3 定理 设 f。