一类非线性粘弹性方程解的整体存在性毕业论文(编辑修改稿)

一类非线性粘弹性方程解的整体存在性毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

l     在 上 可 测 且. () 重要的不等式 Minkowski 不等式： 如果  ,1pf g L p   则p p pL L Lf g f g  ； H..O lder 不等式： 设 111 , . 1pppp     ，若 ,ppf L g L 则 ,f g L 且有fg f gL p p      ppfg dx f g   ； Young 不等式 1： 设 1 , ,pqr  且满足 1 1 11p q r  ．若  pnf L R  qng L R ，则有 fg 在 nR 上几乎处处存在，且 f g f gr p q ； Young 不等式 2： 110 , 0. 1 , 1. 1a b p qpq     ，则有 pqababpq； 带  的 Young 不等式： 110 , 0. 0 1 , 1. 1a b p qpq      且，则q qpqppqpaba b a bpq     ．特别地，当 2pq时，上式变为22 4bab a （带  的 Cauchy 不等式） 一类非线性粘弹性方程解的整体存在性 6 Gronwall 不等式（积分形式） （ 1） 设 t 是 [0,T]上的非负可积函数，  0,tT ,  t CdssCt 0 21 )()(  对某个 12,0CC 成立，则      1211 0 ,Ctt C C te t T   ； （ 2）如果    1 0tt C s ds ，  0,tT ， 则  0t  . Gronwall 不等式（微分形式） () 是非负的，且为绝对连续函数，在  0,T 的区间上，且对任意情况下的 t 满足不等式 ( ) ( ) ( ) ( )t p t t q t ， 在此 ()pt 和 ()qt 是非负的，且为可积函数，在  0,T 的区间上，则 t0 t() 0( ) ( 0) + ( ) 0p s dst e q s ds t T     ， 特殊情况下，在  0,T 的区间上符合条件  ( 0) =0 0 ,p t T   ， ，则恒有 () 0t  . 引理 引理 1（ Sobolev 嵌入定理） 设  为 nR 中的有界区域，其边界  是光滑的，如果  , ,kpu W kp n  ，那么 （ i）    , ,k p q npW L q n k p    并有  ,0q k pLWu c u ， 其中 0c 为常数． （ ii）    10 2, 2q nH L q n   ， 并有   10q sL U Hu c u， 其中 sc 为常数． 引理 2（ Aubin 引理） 设 01,B B B 是三个 Banach 空间 ，其中 01,BB是自反一类非线性粘弹性方程解的整体存在性 7 的，且有连续的嵌入关系 01B B B ， 0B 到 B 的嵌入映射是紧的011,pp  ．记       0 10 1 0 1 0 10。 ,。 , | 0 ,。 , 0 ,。 P PW W T p p B B v v L T B v L T B   ，     0 101122 20 ,。 0 ,。 ,P PW L T B L T Bv v v v W  ． 则 W 紧嵌入  0 0,。 pL T B . 引理 3 设 ,XY是 Hilbert空间或 Banach 空间， XY和 是 XY和 的对偶空间，  0 ,。 nu u L T X  在内，  0 ,。 n L T Y  在内， 则在 0,。 L T Y 中=u ． 引理４（ Ｇ reen 公式）    n nR R vdxunvuvdxu． 一类非线性粘弹性方程解的整体存在性 8 4 主要结论的证明 解的整体存在性 令  10H 为 k=1kG的一个 完备正交基，且kG是一个特征函数，其具备负Laplace 含有带齐次 Dirichlet 边界条件，即： = , ,k k kG G x ,=0,, 经过规范化后，存在22=1kG，假设 m是任意正整数，1( ) ( )mm km kku t O t G, 并且记 mu 表示 mu 对 t 求一阶导 ,u表示 mu 对 t 求二阶导 . 再由（ ）两边同时乘以 kG ， 知 mut满足：   0( , ) , + ( ) ( ( ) , ) ( ) ( , )tm m k m k m k m m ku u G u G g t u G d a x u u G       ( , ) 0m m kb u u G. 且存在有：    ,u u u u     ， 则以上化简成：   0( , ) + , ( ) ( ( ) , ) ( ) ( , )tm m k m k m k m m ku u G u G g t u G d a x u u G          ( , ) 0m m kb u u G,    010 , 0m m m mu u u u, 其中 1, ,km ，    0 0 1 111, , ,mmm k k m k kkku u G G u u G G. 当 m 时，在  10H 中，0 0 1 1,u u u u. 因为假设中() m m ka x G dx 是一个有意义的非线性项 . 根据标准的常微分方程理论，我们可知存在唯一的解在区间 0,mt上，其中 mt大于零 .则求解方程，并由第一估计得，对 0T ，这个近似解可以延拓到  0,T 上 . 现在验证估计一 . 方程两边分别乘以()kmOt，并且 关于 k 求和，得到： 一类非线性粘弹性方程解的整体存在性 9   01 1 1( ,G ) ( ) + , ( ) ( ) ( ( ) , )m m mtm m k k m m k k m m kk k ku u O t u G O t g t u G             11( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0mmk m m m k k m m m k k mkkO t d a x u u G O t b u u G O t       . 可化为： 011( , G ( ) ) + , ( ) ( ) ( ( ) ,mm tm m k k m m k k m mkku u O t u G O t g t u         1 1 1( ) ) ( ) ( , ( ) ) ( , ( ) ) 0m m mk k m m m k k m m t k k mk k kG O t d a x u u G O t b u u G O t            . 继而得： +2 222+21 1 1()+2 2 2m m md u u udt       +20 +2( ) ( ( ) , + ( ) =0t m m mg t u u d a x u    . 通过计算得： 0( ) ( ( ) , )t mmg t u u d    00( ) ( ( ) ) ( )ttm m m m mg t u u u dx d g t u u dx d              2211( ) ( ) ( )22 m m mddg t u u dx d g t u dx ddt dt          2200( ) ( ) ( ) ( )ttm m m md g t u u dx d g t u u dx ddt             22( ) ( )ddg t u dx d g t u dxdt dt        2201 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( )2 2 2 2tm m m mg u t g u t g k dk u g t udt dt      . 记作符号：20( ) ( ) ( ) ( ) ( )t mmg u t g t u u t dx d    , 则联系上面的计算可得： +2 220+21 1 1 1( ( 1 ( ) ( ) ( ) )+2 2 2 2tm m m md u g k dk u u g u tdt        +2 22+2 11a ( x) = ( ) ( ) ( )22m m mu g u t g t u   . 一类非线性粘弹性方程解的整体存在性 10 在（ 0， t)区间上积分，并且运用假设条件，该式可化为： +2 220+21 1 1 1( 1 ( ) ) ( ) ( )+2 2 2 2tm m m mu g k dk u u g u t       +210 +2a(x) Pt mu, 由于    00t g k dk g k dk    00t g k dk g k dk       11t g k dk g k dk  , 又由 0 g k dk L  ,    001 1 0t g k dk g k dk L    . 因此， 1P 是与100Hu及101Hu有关的正常数，并由上述式子可得第一估计： +2 222+2 ( ) ( ) Pm m m mu u u g u t        , 在此， 2P 是与100Hu，101Hu及 L 有关的正常数 . 从而有下列结果：    12001000 ( )0mmu L t H Lu L t H     在 ， ； 中 一 致 有 界在 ， ； 中 一 致 有 界 现在验证估计二 . 方程两边分别乘以()kmOt，并且关于 k 求和，得到：   01 1 1( ,G ) ( ) + , ( ) ( ) ( ( ) , ) ( )m m mtm m k k m m k k m m k k mk k ku u O t u G O t g t u G O t d            11( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0mmm m k k。