一个流感动力学模型的定性性质毕业论文(编辑修改稿)

一个流感动力学模型的定性性质毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

这里表示 t 时刻该地的人口增长率（包括人口的出生率，外来人口迁移率）。 我们分别用 S(0)， L(0)， I(0)， R(0)来表示各自的初始值。 （ t）表示单位时间内易感者人群和染病者人群的接触率， （ t）表示单位时间内潜伏者发病的概率，  （ t）表示单位时间内染病者的经过有效治疗后的康复率。  （ t）表示单位时间内易感者的染病率（接触染病者后直接表现出流感症状，没有潜伏期），  （ t）表示接种疫苗后易感者的有效接种率， （ t）表示康复者在此成为易感者的比例系数，  （ t）表示潜伏期者经过再次接种后获得免疫能力的系数（一般而言这种概率是极低的），最后的常数 k 是恒定移出率（包括人口死亡率，人口迁移率）在此我们假定这个移出率是不变的，这样方便计算和后面模型的处 理和讨论。 基本的定义，定理，公式 从实际情况来考虑我们知道各个函数的初始值都是非负的，且都是有界函数。 即： (0 ) 0 , (0 ) 0 , (0 ) 0 , (0 ) 0S L I R   。 在流感模型中，我们一般关注的重点是染病者这个群体，它是时间 t 的函数，考虑到极限问题，我们做出如下的定义： 定义 若 ()It 满足 lim ( ) 0t It  ， 则说明染病者随着时间最终灭绝。 定义 正如定义 中我们假定的是 ()It 收敛于 0，若存在正常数 1m ， 2m ，且210mm。 使得： 12l i m i n f ( ) l i m s u p ( )ttm I t I t m     那么称染病者人群是持续生存的。 定义 若存在 0n ， 使得 liminf ( )t I t n ，那么称染病者是一致强持续生存的。 定义 若满足 liminf ( ) 0t It ， 则称染病者人数一直维持生存。 定义 设 ()ft 是 R 上的周期函数（因为流感的爆发季节性都十分明显，所以假设是十分合理的） ,周期为 T。 再令 0[ ( ) ] 1lim ( )Tt f d xTmt xf   ， 0 ()infl tf f t， 0 ()supLtf f t， 01 ()Tf f s dsT 。 现在我们引入 logistic 方程 () ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]d x t x t A t k t x tdt  （ ） ()At 和 ()xt 是周期函数，且是连续的。 [ ( )] 0mAt  , 0lk。 引理 在此，我们假设 ( ( ), ( ), ( ), ( ))S t L t I t R t是满足模型的初值条件的任意一个解。 对于足够大的 t 我们有 ( ) ( )LASt k ， ( ) ( )LALt k ， ( ) ( )LAIt k ， ( ) ( )LARt k。 引理 若存在两个常数 1 ， 2 ， 12( 0, 0)。 St: 1lim in f ( ) 0ttt A s ds  ， 2lim in f ( ) 0ttt k s ds  ， 那么则有： ①：存在 N 和 n， 0 nN , 使得方程： () ( ) ( ) ( )dx t A t k t x tdt  （ ） 的任意正的解满足此不等式 l i m i n f ( ) l i m s u p ( )ttn x t x t N     , ②： 方程（ ）的定解全局吸收，且是一致的。 ③：若 0lk ，则有 ( ) l im in f ( ) l im s u p ( ) ( )lLttAAx t x tkk       。 定义 若满足下面条件我们则称模型 是全局性吸引的 ①12lim ( ) ( ) 0t S t S t  ， ②12lim ( ) ( ) 0t L t L t  ， ③12lim ( ) ( ) 0t I t I t  ， ④12lim ( ) ( ) 0t R t R t  。 这四个式子对于模型的初值条件的两个解： 1 1 1 1( ( ), ( ), ( ), ( ))S t L t I t R t和2 2 2 2( ( ) , ( ) , ( ) , ( ) )S t L t I t R t随意一个成立。 第三章 SLIR 模型的非负性和有界性 解的非负性 在本节中我们将对模型（ ）的解进行讨论，因为在实际生活中我们可能不知道解的解析值，但是我们能够证明它们的存在， 这一点也是很有意义的。 事实上，如果利用高仿真技术我们是可以得到十分近似的数值解的，当然这主要是用到了数值分析中的精妙思想。 实际中模型（ ）的解是解不出的，故我们转而求其次，首先，我们先看一下方程组中每个方程是否能够做出什么来，下面我们就逐个讨论（ ）的微分方程。 ⑴ 模型（ ）的第一个微分方程 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( )dS A t t S I t t k S t Rdt             ， 我们知道各个人群都是存在的，不然就没有讨论的意义，故 () 0At ( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 0R t L t I t S t   ，且各项系数 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( )t t t t t t t       ，k 也均是非负的。 且 ( ) 0tR 。 所以我们可得 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( )dS A t t S I t t k S t Rdt              ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] ( )A t t I t t k S t R            [ ( ) ( ) ( ) ]t I t t k S        。 即 () [ ( ) ( ) ( ) ]d S t t I t t k d tS         再对不等式两边积分可得： 0() e xp [ ( ) ( ) ( ) ]( 0) tSt s I s s k dsS         ， 由于 (0) 0S  ，所以我们可得 ( ) 0S t b.其中 b 为某个正常数。 故我们得出 ()St的解是非负的。 ⑵ 下面我们考虑模型的第二个微分方程 ( ) [ ( ) ( ) ]dL t S I t t k Ldt         ， 如（ 1）中我们可得 ( ) [ ( ) ( ) ]dL t S I t t k Ldt         ， [ ( ) ( ) ]t t k L    ， 再变形可得 () [ ( ) ( ) ]d L t t t k d tL    。 通过积分并整理得0( ) ( 0) e xp [ ( ) ( ) ] 0tL t L s s k ds     ， 故 ()Lt 是非负的。 ⑶ 现在我们考虑（ ）第三个微分方程 ( ) ( ) [ ( ) ]dI t S t L t k Idt          ， 如上可得 ( ) ( ) [ ( ) ]dI t S t L t k Idt         ， [ ( ) ( )]t k t I   。 同样的可解得0( ) ( 0 ) e x p [ ( ) ] 0tI t I s k d s    即 ()It 也是非负的。 ⑷ 我们来看 ()最后一个微分方程 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ]dR t S t L t I t k Rdt            , () 解是不是也是非负的。 如上我们得到： ( ) ( ) ( ) [ ( ) ]dR t S t L t I t k Rdt            , [ ( ) ]t k R   , 再经过整理得到0( ) ( 0 ) e x p [ ( ) ] 0tR t R s k d s   。 到这里我们得到第四个微分方程的解也是非负的。 综合以上我们得出结论，在 0t 的时候模型的满足初值条件的任意一个解 ( ( ), ( ), ( ), ( ))S t L t I t R t都是非负 解，这个非负解的证明是很有意义的，这让我们知 道该动态模型是有非负解的。 接下来的一节中我们将讨论模型解的有界性。 模型解的有界性。 在模型 （ ）中，我们将第一，第二，第三，第四个微分方程相加，可得如下等式： ()d S d L d I d R A S L I R kd t d t d t d t        ， 变形一下得 () ()d S L I R A S L I R kdt        ，令 X S L I R    则方程变为 dX A k Xdt    () 考虑到实际意义 ()At 必是非负函数，所以 dX kXdt   ， 即 dX kdtX  ， 解得 ( ) (0 ) e x p ( ) 0X t X kt  。 说明 ()Xt 是有下界的。 下面我们证明 ()Xt 是有上界的。 因为 k 和 ()Xt 是非负的，且 ()At 是有界函数，不妨假设 ()At M ，其中 M为正常数。 则 dX A k Xdt    ， ① 若 0A k X   则说明某地区的人口是负增长的，则人口必是有上。