riemann积分与lebesgue积分的关联性研究毕业论文(编辑修改稿)

riemann积分与lebesgue积分的关联性研究毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

如 ,对于定义在 ]1,0[ 之间的有理数上的函数 xxf )( ,就没有办法讨论它的可积性 . 5. 在 Riemann 可积函数集合中 ,能构造出距离 dxxgxfgfd   )()(),( ,由此可见 ,此空间并不完备 ,这是 Riemann 积分的又一局限性 . 二、 Lebesgue 积分 引入 Lebesgue 积分的目的是为了克服 Riemann 积分的不足 ,从而扩大可积函数类 .Lebesgue 积分是 Lebesgue 在测度理论的基础上建立起来的 ,Lebesgue 测度理论可以统一处理函数有界与无界的情形 ,而且函数可以定义在更为一般的点集上 ,而不仅仅只是闭区间],[ ba 上 .Lebesgue积分还提供了比 Riemann积分更加广泛且有效的收敛定理 .因此 Lebesgue积分的应用范围比较广泛 .二十世纪初 ,Lebesgue 对给定的函数按函数值的区域进行分割 ,作和 ,求极限产生了 Lebesgue 积分 .对值域进行分割 ,相应得到对定义域的分割 ,使得在每一块上的振幅都很小 ,即按函数值的大小对定义域的点进行归类 .具体定义如下： （一）非负简单函数的积分 设 f 是可测集 D 上的非负简单函数 ,则有 D 的划分  SiEi 1, 及非负实数组 Siai 1, ,使 si Eii xXaxf 1 )()(, Dx .此时我们定义 f 在 D 上的 Lebesgue 积分为 D Si ii Emadxxf 1 )()( ,并且当  D dxxf )( 时 ,称 f 在 D 上 Lebesgue 可积 .[2] （二）非负可测函数的积分 设 )(xf 是可测集 D 上的非负可测函数 , )(xfn 是的非负简单函数的上升列 ,并且)()(lim xfxfnn  .此时 f 在 D 上的 Lebesgue积分定义为  D nD n dxffdx lim.若积分值有限 ,则称 )(xf 在 D 上 Lebesgue 可积 .[2] 4 （三）一般可测函数的 Lebesgue 积分 对每一个 Dx ,令    ,)(,0m ax xfdx    ,)(,0m a x xfdx则 f 与 f 分别称为函数 f 的正部与负部 .若 D dxf与 D dxf的 Lebesgue 积分不同时为  ,则 f 在 D 上的Lebesgue 积分定义为  DDD dxfdxffdx.此外当 Dfdx有限时 ,称 f 在 D 上 Lebesgue 可积 .[2] 三、二者区别与联系 （一） Riemann 积分与 Lebesgue 积分的定义的比较 1. 极限式定义的比较 （ 1） Riemann 积分的 极限式定义 设 )(xf 是定义在闭区间 ],[ ba 上的有界函数 ,对区间 ],[ ba 的任意一个分割 T , bxxxxa n  210 ,记 1 iii xxx ,  nxxxx  ,m a x 321 , 任取 nixx iii ,3,2,1],[ 1   ,作和  ni ii xf1 )(,并求极限  ni ii xf10 )(lim ,若该极限存在则称在 ],[ ba 上 Riemann 可积 . 并把该极限称为 )(xf 在 ],[ ba 的积分 ,记作ba dxxf )( .[3] （ 2） Lebesgue 积分的 极限式定义 设 )(xf 是定义在可测集 nRE 上的有界可测函数 ,且 mE ,存在 nR, 使得),()( Ef . 若对 ],[ 的 任 一 分 割 D ,   nllll 210 . 记1 iii lll , ni ,3,2,1  ,  nllll  ,m a x 321 , ])([ 1 iii lxflxEE   ,对任意 ][ ,1 iii ll ,作和 ni iimE1,并求极限 ni iimE10lim ,若该极限存在则称 )(xf 在 D 上Lebesgue 可积 .并把该极限称为 )(xf 在 E 的积分 ,记作 E dxxf )(.[3] （ 3）对两者的比较 从上面两个定义我们可以看出 ,两个积分的相同点是思路相似 ,具体地说 ,都是要作分割 ,求和 ,取极限 .两者的区别在于 ,分割的对象不同 ,即 Riemann 积分是对定义域 作分割 ,而 5 Lebesgue 积分是对值域进行分割 . 2. 确界式定义的比较 （ 1） Riemann 积分的 确界 式定义 设 )(xf 是定义在闭区间 ],[ba 上的有界函数 , 对区间 ],[ba 的任意一个分割T , bxxxxa n  210 ,记 iM 为函数 )(xf 在 ],[ 1 ii xx 上的上确界 , im 为函数 )(xf在 ],[ 1 ii xx 上的下确界 ,相对于分割作和  ni ii xMfTS 1),(称为 )(xf 关于分割 T 的大和数 ,  ni ii xmfTs 1),(称为 )(xf 关于分割 T 的小和数 .记 ),(in f)( fTSdxxfTba 为 )(xf在闭区间 ],[ ba 上的上积分 ,同时记 ),(s up)( fTsdxxfTba 为 )(xf 在闭区间 ],[ ba 上的下积分 .若两个积分的值相等 ,则称 )(xf 在 ],[ ba 上可积 ,并称这个共同值为 )(xf 在 ],[ ba 上Riemann 可积 ,记作 ba dxxf )(.[3] （ 2） Lebesgue 积分的 确界式定义 设 E 是 一个非空可测集 ni iEE 1,其中 iE 为互不相交的可测集 ,  iED 是 E 任意一个可测分割 ,记 iM 为函数 )(xf 在 iE 上的上确界 , im 为函数 )(xf 在 iE 上的下确界 ,相对于分割作和 ni iimEMfDS 1),(称为 )(xf 关于分割 T 的大和数 , ni iimEmfDs 1),(称为)(xf 关于分割 T 的小和数 .记 ),(in f)( fDSdxxfE D  为 )(xf 在闭区间 E 上的上积分 ,记),(s u p)( fDsdxxfE D  为 )(xf 在闭区间 E 上的 下积分 .若两个积分的值相等 ,则称 )(xf在 E 上 可积 ,并称这个共同值为 )(xf 在 E 上 Lebesgue 可积 ,记作 E dxxf )(.[3] （ 3）对两者的比较 Riemann 积分的 确界 式定义与 Lebesgue 积分的 确界式定义有相同的思路：第一 ,先对积分区间进行分割 ,从而定义区间的大和与小和；第二 ,定义大和的下确界为上积分 ,小和的上确界为下积分；第三 ,若上下积分值相等 ,则被积函数再此积分区域上是可积的 . 虽然两者形式相似 ,但具体定义还是有一定的区别：第一 ,从积分区域来看 , Lebesgue 积分的适用范围较广 .因为 Riemann积分的积分区域是闭集 ,而 Lebesgue积分的积分区域是可测集 ,可测集的范围大于闭集 .第二 ,从分割方法来看 , Riemann 积分将定义域分割为自变量很接 6 近的若干个小区间 ,而 Lebesgue 积分 将定义域分割为函数值很接近的若干个小集合 .第三 ,从测度的选取来看 , Riemann 积分采取的是约当测度 ,而 Lebesgue 积分采取的是 Lebesgue 测度 .第四 ,从被积函数来看 ,在 Riemann 积分理论中被积函数是有界的 ,而在 Lebesgue 积分理论中被积函数是可测的 .第五 ,Lebesgue 积分中 , )(xf 有界 , mE 这一条件可以忽略 ,而在Riemann 积分则不可以 . (二） Riemann 积分 与 Lebesgue 微积分在积分基本定理中的比较 1. Riemann 积分中微积分基本定理 Riemann 积分要求 )(xf 在闭区间 ],[ ba 上是可微的 ,并且 )(39。 xf 在此区间上是可积的 ,才有 .这一结论使得积分和微分之间有了联系 ,但是 )(39。 xf 在 ],[ ba 上可积是一个很大的限制条件 .在 1881 年意大利数学家 Volterra 就 作出了可微函数 , 其导数是有界的 ,但是导数不是可积的 .所以说 ,Riemann 积分下 微积分基本定理这一结论的适应面过窄 . 2. Lebesgue 积分中微积分基本定理 Lebesgue 积分 要求 )(xf 在闭区间 ],[ ba 是绝对连续的 ,则有  xa afxfdttf )()()(39。 .[4] 3. 对两者的比较 有上述表达可以比较得出 ,在 Lebesgue积分下的微积分基本理论放松了 Riemann积分理论中微分后在积分可还原的条件 ,而且还延续了 Riemann 积分理论中积分后再微分可以还原的特点 .所以说 ,在积分 与微分的关系问题上 ,Lebesgue 积分显得更加优越 . （三） Riemann 积分与 Lebesgue 在一些主要性质上的比较 积分的主要性质 [5] 性质 1 线性性质：若函数 )(),( xgxf 在 ],[ ba 上可积 ,则 )()( 21 xgkxfk  在 ],[ ba 上可积（ 21,kk 为实数） ,且 dxxfkxfkdxxgkxfk baba ba    )()()()( 2121. 性质 2 积分区间的可加性： )(xf 在 ],[ ba 上可积的充要条件是 ,任给 ],[ bac , )(xf在 ],[ ca 与 ],[ bc 上都可积 .此时又有等式 dxxfxfdxxf bcba ca    )()()(. 证 [充分性 ] )(xf 在 ],[ ca 与 ],[ bc 上都可积 ,故任给 0 ,分别存在分割 39。 T 与 T ,使得  39。 239。 39。 T ii x ,  2T ii x .现令 39。 TTT  ,它是对 ],[ ba 的一个分割 ,且有    39。 39。 39。 39。 T iiT T iiii xxx  . 7 由此证得 , )(xf 在 ],[ ba 上可积 . [必要性 ] 已知 )(xf 在 ],[ ba 上可积 ,故任给 0 ,存在对 ],[ ba 的某分割 T ,使得 T ii x  ,在 T 上在增加一个分点 c ,得到一个新的分割。