浅析函数极限求法的所有专业(编辑修改稿)

浅析函数极限求法的所有专业(编辑修改稿)内容摘要：

2 12 2 2 4          例 求极限 12 1lim221  xxxx 8 第 8 页 共 20 页 解：12 1lim 2 21  xxxx=)12(lim)1(lim2121  xxxxx =20 =0 例 求极限 221 1lim 21x xxx  解： 221 1lim 21x xxx =     111lim 1 2 1xxx =   11 2lim 2 1 3xxx  例 41 2 3lim 2xxx 解：   44241 2 3 2l im l im 42 1 2 3xxxxx x      =  422lim1 2 3xxx =  2 4 2 431 8 3  利用两个重要极限公式求极限 两个重要极限公式 [2] ：（ A） 1sinlim0  xxx (B) ex xx  )11(lim 但我们经常 使用的是它们的变形： 1)( )(sinlim)39。 ( 0)(  x xA x  exB xx  )()( ))(11(lim)39。 (   例 求极限20 cos1lim x xx  解： 20 cos1lim x xx =21)22sin(21lim 20  xxx 例 求极限 xx x10 )21(lim  9 第 9 页 共 20 页 解： xx x10 )21(lim = 22210 )21(lim ex xx  利用洛必达法则求极限 00型不定式极限 定理：若函数 f 和 g 满足： （ 1） 0)(lim)(lim00   xgxf xxxx； （ 2）在点 0x 的某空心邻域 )( 00 xU 内两者都可导，且 0)(39。 xg ； （ 3） Axg xfxx  )(39。 )(39。 lim0（ A 可为实 数，也可为  或  ），则 Axg xfxg xf xxxx   )(39。 )(39。 lim)( )(lim 00  型不定式极限 定理：若 函数 f 和 g 满足： （ 1）   )(lim)(lim 00 xgxf xxxx； （ 2）在点 0x 的某右空心邻域 )( 00 xU 内两者 都可导，且 0)(39。 xg ； （ 3） Axg xfxx  )(39。 )(39。 lim0（ A 可为实数，也可为  或  ），则 Axg xfxg xf xxxx    )(39。 )(39。 lim)( )(lim 00 不定式极限还有   ,0,1,0 00 等类型，经过简单变换，它们一般均可化为 00 型或  型的极限 . 例 求极限 xx x0lim 解： 由对数恒等式可得 xxx ex ln xx x0lim = xxxe lnlim0 10 第 10 页 共 20 页 01lnlimlnlim 00   xxxxxx 1lim 00   ex xx 例 求极限02 c o s 4 s in 2lim 2 s inxxx 解：02 c o s 4 s in 2lim 2 s inxxx =02 si n 4 co slim 2 co sxxxx =4 利用函数连续性求极限 （ 1）若 )(xf 在 0xx 处连续，则 )()(lim00 xfxfxx  （ 2）若 )]([ xf  是复合函数，又 axxx  )(lim0且 )(uf 在 au 处连续，则)()](l i m[)]([l i m 00 afxfxf xxxx    这种方法适用于求复合函数的极限 .如果 )(xgu 在点 0x 连续 00)( uxg  ，而)( ufy  在点 0u 连续，那么复合函数 )]([ xgfy 在点 0x 连续 . 即)]([)](l i m[)]([l i m 000 xgfxgfxgf xxxx   . 例 求极限 xx x)11ln(lim  解： 令 uy ln ， xxu )11(  因为 uln 在点 exu xx   )11(lim0 处连续 所以 xx x)11ln(lim  = ])11(limln[ xx x = 1ln e 通过等式变形化为已知极限 要点：当极限不宜直接求出时，可考虑将求极限的变量作适当的等式变形，得到已知极限的新变量 . 11 第 11 页 共 20 页 例 求极限 1lim   xxxxx 解： 1lim   xxxxx=xxxxx 11111lim73=0 利用换元法求极限 当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求 . 例 求极限 xxxxx ln1lim1 解： 令 1 xxt ，则 )1ln(ln  txx xxxxx ln1lim1  = 111lim)1ln (lim 00   t ttttt 利用自然对数法求极限 自然对数法：把形如 )()( xgxf 通过恒等变形写成 )(ln)( xfxg 的形式 ,改为求 00 或  不定式的极限 . 例 求极限 xx xx cos1 10 )sin(lim  解： 用自然对数法，令 y= xxx cos1 1)sin(  取自然对数得 x xxy s inlnc os1 1ln  12 第 12 页 共 20 页 2s i nlnl i ms i nlnc os1 1l i m 200 x xxxxx xx   = x x xxxxxx20s inc o ss inlim =3020 s i nc osl i ms i n s i nc osl i m x xxxxx xxx xx   =313sinlim 20  x xxx 31c os1 10 )s in(lim   ex x xx 利用因式分解法求极限 要点：如果可以通过因式分解将变量化简或转化为已知的极限，即可利用此方法求变量极限 . 例 就极限2s in3s in 1s in3s in4lim 222  xxxxx  解 ： 222224 si n 3 si n 1li msi n 3 si n 2( 4 si n 1 ) ( si n 1 )li m( si n 2) ( si n 1 )4 si n 1li m 5si n 2xxxxxxxxxxxxx。