汽车保险的数学模型研究所有专业(编辑修改稿)

汽车保险的数学模型研究所有专业(编辑修改稿)内容摘要：

中多车辆相撞事故时有发生，在这种情况下，用泊松模型来描述是不精确的，王成勇等 [7]对泊松模型进行了推广，给出了一个新的模型 — 簇生点过程模型，用概率母函数为工具，给出了 ,ot 内理赔总量 的均值与方差 .王成勇等 [8]还对广义泊松过程模型用鞍分析方法证明了其破产概率的 Lunderg 不等式 . 所谓非同质性是指保单组合中每份保单的索赔次数频率不相同 .在保险实践中，尽管大多数险种都对保险人根据某些先验变量进行了分组，而且在选择这些先验变量时希望他们能尽可能地反映被保险人的风险水平 .但任何先验变量总是有一定缺陷的 .因此，被划入同一组的保单仍然不可避免地存在某种程度的非同质性，这就使得泊松模型失去了应用的前提 .常用的非同质风险次数模型主要有 :负二 项分布模型、泊松 — 逆高斯模型、二元风险模型、三元风险模型、 二项 — 贝塔分布模型、负二项 — 贝塔分布模型等等 .孟生旺 [12]不但讨论了这些保单组合的精算模型的均值、方差、偏度系数等，对于相关性保单组合利用概率母函数方法分别讨论了当每次事故引发的索赔次数 iM 服从对数分布 、 泊松分布、二项分布、负二项分布以及截尾负二项分布情况下的均值、方差、偏度系数等性质 . 在某些险种中，保单的索赔之间有一定的传染性，也就是说，一次索赔的发生可能会增加 (或减少 )下次发生索赔的可能性 .传染的形势多种多样，孟生旺 [2]讨论了索赔频率之间存在线性传 染关系的情况 . 索赔次数模型是多种多样的，而索赔次数模型的选择往往依赖于数据的具体形式一般而言，提供的数据越丰富，所能拟合的模型就越复杂，拟合效果就越好 . 常见的索赔额模型分布模型主要有指数分布、伽玛分布、对数正态分布、Pareto 分布、广义 Pareto 分布、 weibull 分布、对数伽玛分布、变换伽玛分布等 [2]，孟生旺 [2]讨论了通货膨胀对索赔额模型的影响 . NCD 系统研究现状 自保险公司采用 NCD 以来，精算师们就没有停止过对 NCD 的研究 .在理论上，主要表现在两个方面 :一方面是基于索赔次数的 NCD 理论研究。 另一方面是同时考虑索赔大小的 NCD 理论研究 .而且，在基于索赔次数的 NCD 理论研究中也包括两大 级 :一 级 是只利用后验信息的 NCD 研究。 另一 级 是同时考虑先验信息的 NCD 理论研究 .同样，考虑索赔大小的 NCD 的研究也包括这两 级 .相对于基 6 于索赔次数的 NCD，有关考虑索赔大小的 NCD 的研究要少的多 .在下面内容里，我们将分两个方面来综述 . (1)基于索赔次数的 NCD 的理论研究 早在 1962 年， Marcel 就开始了无赔款优待问题的研究，并用期望索赔次数创建了无赔款折扣费率表 .在 1964 年， Bichsel 和 Buhlinann 等系统地提出了期望值保费原理，也就是每个投保人所缴纳的保费与他的未知索赔次数成正比 .后来， Jean Lemaire 在假设投保人的索赔次数服从负二项分布的基础上，根据期望值原理和 Gerber 提出的指数效用原理，创建了奖惩系数表 .因为 Lemaire 当时利用的是每个投保人未知索赔次数的估计值，而不是他的真实索赔次数，因此，在实际操作时，往往会给保险公司带来损失 .在设计这个 NCD 时， Lemaire 利用的索赔次数的估计值是一个最优估计值，也就是使得保险公司损失最小时索赔次数的估计值 .十多年以后， Lmaire 又用平方差损失函数和期望值保费计算原理，以及用负二项分布作为索赔频率的拟合分布函数获得了一个最优 Tremblay 在1992 年用平方差损失函数和零效用保费计算原理，以及用泊松 — 逆高斯分布为索赔频率的拟合分布函数获得了一个最优 ， 和 仍然根据期望值原理和零效用原理，假设索赔次数服从非参数分布模型创建了最有奖惩系统，同时他们还将其与参数复合分布下的 NCD 做了比较 .在国内，有关NCD 的研究主要是基于后验信息，对此做出主要贡献的是孟生旺 [12]，在文献 [12]中，孟生旺根据期望值原理、半方差原理、方差原理、标准差原理、零效用原理等，同时假设索赔次数服从混合负二项模型、二项 — 贝塔模型，以及其他复合泊松模型，比较系统地创建了一系列最优 发散 ，孟生旺和袁卫 [3]利用负二项 — 帕雷托分布创建了最优 ，虽然采用了不同的定价原理，同时做了不同损失分布的假设，产生了不同效果的奖惩系统，但是他们的基本原理相同，都是基于后验信息索赔次数的 NCD. 当然，在基于索赔次数的 NCD 的理论研究领域中，还有很多人做了不少工作，如 Jean Pinquet 研究了有无过失事故的 NCD 等 . (2)考虑索赔大小的 NCD 的理论研究 虽然精算师们早就认识到了基于索赔次数的 NCD 的不足，但是，到目前为止，有关考虑索赔大小的 NCD 的研究工作还是比较少 .这当然与基于索赔次数的 NCD 自身的优势有关，因为它比较简单、直观、操作方便 .另外索赔次数也能代表投保人的 绝大部分 风险 .尽管如此，在最近几年，国外还是出现了几篇有关考虑索赔大小的 NCD 的颇有价值的文献，如 Jean Pinquet， Nicholas 和 Spyridon 的文章 .在前两篇文章中， Pinquet 以独有的方式，利用 提出的具有协变量的索赔模 7 型，创建了同时考虑索赔次数与索赔大小的异方差模型，然后通过求异方差模型的参数，得出了三种奖惩系数，但此模型数学化程度很高，很难在实际操作中使用 .而 Niehola 和 Spyridon 的主要工作也是将索赔次数与索赔大小一同考虑在 NCD 里，但是他们假设索赔大小与索赔次数相互独立 .另外 ,Nicholas 和 Spyridon 还有一个贡献就是建立 了一个广义 NCD 模型 .在此模型中，他们同时考虑了投保人的先验信息，也就是投保人的特征 . 在国内，有关考虑索赔大小的工作更是少之又少 .孟生旺 [12]在他的博士论文中首先涉及到了这方面的工作，他侧重的是在不同分布、不同保费原理下的考虑索赔大小的 、方差原理以及标准差原理，研究了在负二项 — 帕雷托损失模型、负二项 — 对数正态损失模型以及负二项 — 伽玛损失模型下的 [16]的主要工作是，在假设索赔次数服从负二项 —广义帕雷托分布、索赔大小服从指数 — 伽玛分布以及索赔次数与索赔大 小相互独立的前提下，根据期望值原理和期望值 — 方差原理，计算出了奖惩系数 . 研究内容与目标 利用某保险公司在开展汽车保险业务中所积累的具体数值资料 ,综合考虑投保者心理、保费、赔偿金额、返回额以及宣传力度等因素 ,应用数理统计与数学实验的方法 ,建立一个汽车保险的简单实用的数学模型 ， 对模型进行求解和应用，并对得到的结论进行解释 . 第二章 汽车保险的 数学模型 问题的分析 题目所要 解决 的问题是实行安全法规后该汽车保险公司所制定的保险费的变化情况 .社会保险的作用就在于分担风险，汽车保险费由净保费和附加保费两部份构成 ，附加保费用于支付保险公司的各种开支，这部份费用可假定是不变的 ,因而问题的关键就在于净保费的变化 .净保费又 叫做风险保费，在数量上等于保险期间赔款的期望值 .因而通过对下一年的赔款期望值的估算来确定下一年的净保费的金额 .而赔款期望值即人 均事故赔偿费的估算涉及到总投保人数的估算和事故赔偿费总额的估算 .虽然投保人数的变化与保险费的多少有关，但通过合理 8 的假设（每辆车都必须投保）以及在颁布法规的情况下各个保险公司的保险费都会发生相似的变化（就可以忽 略各 保险公司的竞争）可以得到投保人数的变化不依赖于保险费的变化 ,所以所要解 决的主要问题就是下一年的事故赔偿费总额的估算和总投保人数的估算 .最后通过得到的各 级 的净保费以及已知的该 级 的保险费折扣率来计算得到基本保险费 .模型建立部分分为两个过程 ，首先解决没有颁布法规的情况，再在此基础上解决法规颁布了的情况 . 模型假设 1) 客户被分成 0， 1， 2， 3 级，新客户属于 0 级 . 2) 假设一车一险，就是每年一辆汽车只能在一个公司投保 ,每辆新车必投保 . 3) 假设公司扩展稳定，基本支出费用不变 . 4) 每一 级 别中总投保人数等于续保人数与新投保人 数之和 . 5) 投保人除注销外不会退出该保险公司而到其他保险公司投保 . 6) 注销人数等于自动终止保险人数与自然死亡人数之和 . 7) 索赔人数等于受伤人数和死亡人数之和 . 8) 交通事故率， 注销率不变 . 9) 每年的新投保人数按等比例增长 . 10) 实施安全法规后，事故发生率不变， 各级别 死亡率等比例下降 . 11) 每名司机每年最多只发生一次交通事故 . 12) 下一年平均修理费 ,死亡赔偿费 不变 . 13) 注销人平均所得到的偿还退回金额不变 . 符号说明 t ： 实施安全法规后的当前年，如 t =1 表示实施法规的第一年 ( 1)iNt : 上一年第 i 级 的总投保人数 9 ()iNt: 当前年第 i 级 的总投保人数 ()Nt新 ： 当年 新投保的人数 ()iNt索 ： 当前年第 i 级的索赔人数 i ： 第 i 级 交通事故率 i ： 实施安全法规前 第 i 级 死亡率 *i ：实施安全法规后 第 i 级死亡率 i ：。