开放型实验教学项目指导书(编辑修改稿)

开放型实验教学项目指导书(编辑修改稿)内容摘要：

(f,x,2) 15 得结果 ans =1/2*sin(2) 可以从中体会极限的要素 —— 自变量的变化。 练习 考察 xxxf )11()( 当 x 时的变化趋势 提示 可先取正整数项来观察趋势，然后设法取到 一些实数，让这些实数分别取正值逐渐增大和取负值逐渐减小，从中观察趋势，进而理解，若当 x 时函数极限存在，则其当 x ， x 时极限都存在，且极限值相等；函数当 x 时极限都存在，则自变量仅取正整数，函数转化为数列后，数列的极限值也存在，且为原函数的极限值。 我们求数列不定型极限的时候经常用到这一结论。 3. 一些数列极限的讨论 例 设数列 }{nx 与 }{ny 由下式确定： 11111, 2 , 1, 2 , , 1, 2 , .2n n nnnnxyx x y nxyyn    讨论数列 }{nx 与 }{ny 的极限是否存在 . 解 编程序如下，观察 }{nx 与 }{ny 的变化趋势 . xn=1。 yn=2。 for m=1:6 for n=2:m xN=xn。 yN=yn。 xn=sqrt(xN*yN)。 yn=(xN+yN)/2。 end fprintf(39。 %39。 ,xn) fprintf(39。 %39。 ,yn) end 16 运行该程序，观察列 }{nx 与 }{ny 的变化趋势，可以看出， }{nx 单调增加， }{ny 单调减少，且, 1, 2,。 nnx y n }{nx 与 }{ny 应该都有极限的，且相等。 设法用数学的理论证明所观察到的结论。 （ 1）先证明 }{nx 单调增加， }{ny 单调减少，且 , 1, 2, .nnx y n 显然， 11xy ，由此及 }{nx ， }{ny 的定义式有。 , 1212 yyxx  假设当 n=k 时结论成立，即 11, , ,k k k k k kx y x x y y  则 1 1 1 1, , .22k k k kk k k k k k k k k kx y x yx x y x y y x x y y          由数学归纳法，可知 }{nx 单调增加， }{ny 单调减少，且 , 1, 2, .nnx y n （ 2） 证明数列 }{nx ， }{ny 的极限都存在 由（ 1）的结论有 11 2,nnnx y y yy x x x         即 }{nx 单调增加有上界， }{ny 单调减少有下界，所以两数列均存在极限。 l i m , l i m , ,2nnnn abx a y b a a b b a b        （ 3 ） 设 则 且 解 得 例 已知数列 }{nx ，由    121 1 , 2 ,nna x x x nn    确定的数列 }{na 称为数列 }{nx 的算术平均数列。 设 }{nx 由例 给出， 观察数列 }{na 有无 极限。 解 可编程序如下： xn=1。 yn=2。 for m=1:1000:8000 s=1。 s=2.^(1/2)1 for n=2:m xN=xn。 yN=yn。 17 xn=sqrt(xN*yN)。 yn=(xN+yN)/2。 s=s+xn。 end fprintf(39。 %39。 ,xn) fprintf(39。 %39。 ,s/m) end 将运行结果列成表 . 表 数列与其算术平均数列对比表 n nx na n nx na 1000 5000 20xx 6000 3000 7000 4000 8000 由计算结果可以初步断定，数列 }{na 存在极限且与 }{nx 的极限相等，即   .lim1lim 21 nxnx xxxxn    另外，从计算结果还可以看出，上面两个数列虽然收敛到同一数值，但其收敛速度却有很大的区别。 当 n=100 时， nx ；当 n=8000 时， na 这说明 }{na 的收敛速度远远慢于}{nx 的收敛速度。 证明所观察到的结论：若nn xlim存在，则   .lim1lim 21 nnnn xxxxn    设 axnx lim，则 0 ，存在 01N 使当 1Nn 时， 2axn.于是 18       .21112121121211111nNnnaNxxxnaxaxaxnaNxxxaxxxnNnNNNn 因为 aNxxx N 1211  与 n 无关，可视为常数，故存在 02N ，使当 2Nn 时有 2121 1  n aNxxx N 取 },max{ 21 NNN  ，则当 Nn 时有   22)(1 21 axxxn n 故   .1lim 21 axxxn nn   练习 选择其他收敛数列，观察该数列的极限与其算术平均数列的极限的关系。 19 理解与计算类数学实验之 函数的导数和偏导数 引 1. 问题：要求设计一张菜单栏的竖向张贴海报，它的印刷面积为 2128dm ，上下空白各 dm2 ，两边空白各 dm1 ，如何确定海报尺寸可使四周空白面积最小。 图 2. 分析：设印刷面积由从上到下长为 xdm 和从左到右宽 ydm 构成，则按照设计要求（如图 ） ,有xy= x,y,使得阴影面积为 S ，则 4242  yxS .这是一个关于两个自变量 x,y 的条件极值问题： ,4242m in  yxS ○ 1 .128.. xyts . ○ 2 由式 ○ 2 可解得 .128xy ○ 3 将式 ○ 3 代入式 ○ 1 中化为关于一个自变量 x 的普遍极值问题： .81 2 842m in  xxS ：可见这个函数是可导函数，所以极值点必定是其驻点，因此需要求使 0s 的点 x ,要达到这一目的，需要做两件事：（ 1）求导；（ 2）求导函数的零点。 然后再进一步判断其是否是极小值点，最后求出最小值点坐标 x ，将其代入式 ○ 3 求出 y ，该问题解决。 本节重点进行与导数有关的实验。 实验目的 的概念及其几何意义。 MATLAB 的求导函数和求导方法。 20 “引”中的实际问题。 实验内容 MATLAB 命令 （ 1） syms x y z s t %建立多个符号变量 x ， y ， z， s， t； （ 2） MATL AB 的求导函数是 diff，其调用格式为 diff(函数 f(x)) %求 )(xf 的一阶导数 )(xf 如输入语句 syms x。 f=x*sin(x)。 diff(f) 结果为 ans=sin(x)+x*cos(x). diff(函数 f(x),n) %求 )(xf 的 n 阶导数 )()( xf n (n 是具体整数 ) 如接上例直接输入 diff(f,2) 得结果为 ans=2*cos(x)x*sin(x). diff(函数 f(x,y),变量名 x)。