伪随机序列发生器仿真研究(编辑修改稿)

伪随机序列发生器仿真研究(编辑修改稿)内容摘要：

由它构成 m 序列产生器。 但是寻找本原多项式并不是很简单的。 经过前人大量的计算已将常用本原多项式列成表备查，如在表 中列出了一部分。 n 本原多项式 n 本原多项式 代数式 八进制数字表示法 代数式 八进制数字表示法 2 12 xx 7 14 161014  xxxx 42103 3 13 xx 13 15 115 xx 100003 4 14 xx 23 16 131216  xxxx 210013 5 125 xx 45 17 1317 xx 400011 6 16 xx 103 18 1718 xx 1000201 7 137 xx 211 19 12519  xxxx 20xx047 8 12348  xxxx 435 20 1320 xx 4000011 9 149 xx 1021 21 1221 xx 10000005 10 1310 xx 20xx 22 122 xx 20xx0003 11 1211 xx 4005 23 1523 xx 40000041 12 14612  xxxx 10123 24 12724  xxxx 100000207 13 13413  xxxx 20xx3 25 1325 xx 20xx00011 4x 2x 3x 1x 输出 移位 m 序列的性质 （ 1） 均衡性 在 m 序列的一个周期中，“ 1”和“ 0”的数目基本相等。 准确地说，“ 1”的个数比“ 0”的个数多一个。 （ 2） 游程分布 我们把一 个序列中取值相同的那些相继的（连在一起的）元素合称为一个“游程”。 在一个游程中元素的个数称为游程长度。 一般来说，在 m 序列中，长度为 1 的游程占游程总数的 1/2；长度为 2的游程占游程总数的 1/4；长度为 3 的占 1/8„„ 严格地讲，长度为 k 的游程数目占游程总数的 2k ，其中 11  nk。 而且在长度为 k的游程中 ,连“ 1”的游程和连“ 0”的游程各占一半。 （ 3） 移位相加特性 m序列和它的位移序列模二相加后所得序列仍是该 m序列的某个位移序列。 设 rM 是周期为 p的 m序列 pM r次延迟移位后的序列， 那么 pM  rM = sM 其中 sM 为 pM 某次延迟移位后的序列。 例如， pM =0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1„ pM 延迟两位后得 rM , 再模二相加 rM =0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0, „ sM = pM + rM =0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 , „ 可见， sM = pM + rM 为 m p 延迟 8 位后的序列。 （ 4） 自相关特性 m 序列具有非常重要的自相关特性。 在 m 序列中，常常用 +1 代表 0，用 1代表 1。 此时定义：设长为 p 的 m序列， 记作 )12(, 321  np paaaa 。 经过 j 次移位后， m序列为 pjjjj aaaa  , 321 ， 其中 ii aa  (以 p 为周期 )，以上两序列的对应项相乘然后相加， 利用所得的总和    pi ijipjpjjj aaaaaaaaaa 1332211  （ 31） 来衡量一个 m序列与它的 j 次移位序列之间的相关程度，并把它叫做 m序列( paaaa , 321  )的自相关函数。 记作   pi ijiaajR 1)( （ 32） 当采用二进制数字 0 和 1 代表码元的可能取值时 p DADA DAjR )( （ 33） p aaaajR jiijii ]1[]0[)( 的数目的数目   （ 34） 由移位相加特性可知， jii aa  仍是 m序列中的元素， 所以上式分子就等于m 序列中一个周期中 0 的数目与 1 的数目之差。 另外由 m序列的均衡性可知， 在一个周期中 0 比 1 的个数少一个， 故得 AD=1(j 为非零整数时 )或 p(j 为零时 )。 因此得  pjR /11)( )1(,2,10  pjj  （ 35） m序列的自相关函数只有两种取值 (1和 1/p)。 R(j)是一个周期函数，即 )()( kpjRjR  ， 式中， k=1,2,„, p=(2n1)为周期。 而且 R(j)是偶函数， 即 )()( jRjR  j=整数 图 33 m序列的自相关函数 （ 5） 功率谱密度 令 m 序列长度为 N,周期 cNTT ， cT 为码片宽。 相应的双极性波形为  n nTtatc )()( ，其中： )1,1()( ta ，为 m序列的一个周期 )(tc 的归一化自相关函数为：   T dttccTr 0 )()(1)(  （ 37） R ( j ) 1 1 2 3 － 1 － 2 － 3 － P P － 1 P j 0 令：   其他，011)( ccTTTNNr 则        n T NrNnTrr11 1  其中：   n T nTrr )()(1  tc 的功率谱密度 )()(  rG  互为付利叶变换       NFrFrFG 1)()( 1  （ 38） 周期性函数 )(1r 可以展 为付利叶级数：     n tjnn eFr 01  ， T 20  其中：    22 101TT tjnn dterTF         00 11   nTtjnT rFTdterT （ 39）              n n Tn nrFTnFrF 001 22        n cc nTSaTNNT 02 212  （ 310）  NNF 21  （ 311）            NnTSaNNT TNFrFG n cc 22121 021           n c NnTSaNN  2212 022        n c NnTSa  202 122 （ 312） 双极性 m序列码波形功率谱密度的特点： 1） 为离散谱，间隔为 cNTT  220  2） 带宽近似为 02  NTc  （ cTf 1 ） 3） 谱线的包络以  22 cTSa  规律变化。 4） 支流分量  21N的强度与码长的平方 2N 成反比。 图 34 m 序列功率谱密度 （ 6） 伪噪声特性 如果我们取一正态分布白噪声取样，若取样值为正，记为“ +”；若取样值为负，记为“ ”，则将每次取样所得极性排成序列，可以写成 „ + + + + + + „ 这是一个随机序列，它具有如下基本性质： 序列中“ +”和“ ”的出现概率相等。 序列中长度为 1 的游程约占 1/2；长度为 2 的游程约占 1/4；长度为 3 的游程约占 1/8„„一般来说，长度为 k 的游程约占 k2/1 ，而且在长度为 k的游程中，“ +”游程和“ ”游程约占个一半。 由于白噪声的功率谱为常数，功率谱的逆傅里叶变换，即自相关函数为一冲激函数 )(。 当  ≠ 0时， )( =0；仅当  =0时， )( 是个面积为 1的脉冲。 由于 m 序列的均衡性、游程分布、自相关特性和功率谱与上述随机序列的基本性质很相似，所以通常认为 m序列属于伪噪声序列或伪随机序列。 m序列的计数 同长度不同反馈逻辑的 m序列的数目等于同幂次的本原多项式的数目。 可以证明 ： n幂次本原多项式的数目为： nN ns )12(  其中： )(x 为欧拉函数，它等于 ： 小于 x的并与 x互质的数的个数（包括 1在内）。 例如， 15124 x ，则小于 15并与 15互质的数为： 1， 2， 4， 7， 8， 11，13， 14， 共 8个，则 8)15(  ； 248 sN。 表 列出了不同长度 m序列的数目和 m序列的计数 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 f cT1 cT1 cT2 cT2 12n 3 7 15 31 63 127 255 511 1023 2047 4096 8191 16388 32767 sN 1 2 2 6 6 18 16 48 60 176 144 630 576 1800 由表 ,当 m序列的长度（周期）不很大时，同长度的不同 m序列的数目不大。 例如长度为 127的 m序列仅有 18种；长度为 511的也仅有 48种。 多址系统中当地址数很大时， m序列作地址码就不够用了。 因此人们又寻找出数量多同时又具有类似于 m序列性质的伪随机码；例如 ： Gold码； 第四章 Gold 序列 Gold 序列的定义 m序列优选对的两个 n次本原多项式乘积构成的新序列为 Gold序列，或 m序列优选对的两个本原多项式所产生序列的移位模 2和新序列也叫做 Gold序列。 m序列优选对 这里定义 m序列优选对：设 a是对应于 n级本原多项式 , )(xf 所产生的 m序列，b是对应于 n级本原多项式 )(xg 所产生的 m序列，当它们的互相关函数值 )}({ , kRba满足 12)( 2)1(,  nba kR (n为奇数 ) 12)( 2)2(,  nba kR (n为偶数 ) 则 m序列 a和 b构成一对优选对。 N=? 由 得到其所对应的所有的本原多项式 调用 m_sequence 得本原多项式所对应的 m 序列 让所有 m 序列任意两两组合并求出他们的互相关值 求出当 N=?时所对应的 m 序列优选对 12)( 2)2(,  nba kR （ n为奇数） 12)( 2)1(,  nba kR （ n为偶数） 满足上式要求 图 41 生成 m序列优选对的流程图 表 m 序列优选对的最大互相关值 N 5 6 7 9 10 11 码周期 31 63 127 511 1023 2047 最大互相关值 9 17 17 33 65 65 表 以 n=6为例：当 n=6时，共能得到 6个本 原多项式 本原多项式 所对应的特征相量 16 xx 1 0 0 0 0 1 1346  xxxx 1 0 1 1 0 1 156 xx 0 0 0 0。