无穷级数求和的方法(编辑修改稿)

无穷级数求和的方法(编辑修改稿)内容摘要：

xxn            ， 得  01( 1 ) ( c o s 1 s i n 1 )2 1 ! 2nnnn    例 2 求 21 !nnn 解： 21 1 1 2( 1 ) 1 1! ! ( 1 ) ! ( 2 ) !n n n nn n n nn n n n           。 注意到 2111 ( )2 ! !xne x x x xn          ，有 11 1 111( 1 ) ! 2 ! 3 !n en      ， 21 1 111( 2 ) ! 2 ! 3 !n en      ， 8 因而， 21 2!nn en 。 这种方法的基本思想是：欲求的和1 nn u令 nnnua ，若幂级数 nnnu ax 函数已知，设 () nnf x a x ，则11 ()nnnnnu a f。 此方法的关键是找出函数 ()fx。 （五） 逐项微分与逐项积分法 例 1求 2021() ! nnnS x xn 的和。 解：此幂级数的收敛半径为  ，在任意区间上可逐项积分。 222 2 10 0 0001 1 ( )( ) ( 2 1 )! ! !xx nn n xn n nxS t d t n t d t x x x en n n           所以 2220( ) [ ( ) ] ( ) (1 2 )x xxS x S t d t x e x e    例 2 求 1 1 11 4 7 10   的和。 解：由莱布尼兹判别法知级数01( 1) 31nn n  收敛，设其和为 S。 再令 3101( ) ( 1 ) 31nnnf x xn  ，有 (0) 0f  此幂级数收敛域为 (1,1] ，下面求 ()fx的表达式。 由于 3 3 6 9 30139。 ( ) ( 1 ) 1 1nnnf x x x x x x         所以 300 1( ) 39。 ( ) 1xxf x f t d t d tt  9 21 1 1 2 1 1l n( 1 ) l n( 1 ) ( a r c ta n a r c ta n )36 3 3 3xx x x        因此 1(1) ln 23 33Sf    这种方法用于求某些函数项级数的和函数。 在函数项级数一致收敛的条件下，对其进行逐项微分或积分后求和，然后再反过来求一次积分或微分，便可得到原级数的和函数。 （六） 利用傅立叶级数求和法 例 1 求2 2 21 1 11 3 5 7   的和。 解：将函数 ||x 在 [ , ] 上展成傅立叶级数得： 224 c o s 3 c o s 5| | ( c o s ) , [ , ]2 3 5xxx x x        令 x  ，则 22 2 21 1 11 3 5 7 8     类似地，将 2()f x x 在 [ , ] 上展成傅立叶级数后，令 x  可得： 221 1 6n n   令 0x 可得： 1221 ( 1) 12nn n  将 ()f x x 在 [ , ] 上展成傅立叶级数后， 令 2x  ，可得： 11( 1)2 1 4nn n  在将某些函数展开成傅立叶级数时，往往得到一些比较规范的三角级数展开式。 此时，适当选取自变量的取值，便可得到一些数值级数的和。 10 （七） 利用欧拉常数法 例 1求11(2 1)nS nn  解：111 1 2()( 2 1 ) 2 1nnnkkS k k k k   11 1 1 12 ( )3 5 2 1nk kn      11 1 1 1 2 1 1 12 ( 1 ) 2 ( 1 )2 3 2 2 1 2 4 2nk k n n n            2111 1 22 2 221nnkkk k n    2 22 ( l n ) 2 ( l n 2 ) 221nnc n c n n        2 22 2 l n 2 2 2 2 2 l n 2 ( )21nn nn         即 2 2ln2S 极限11lim( ln )nn k nk  的值为所谓的欧拉常数，设 为 c （  ） 则有：11 lnn nk nck    ，其中 lim 0nn  ，利用上式，可求某些数值级数的和。 （八） 方程式法求和 例 1 求幂级数 2 3 4 5 6( ) 1 2 1 3 2 4 1 3 5 2 4 6x x x x xS x x            的和。 解：收敛半径1111l im2 4 6 2 ( 2 2)l im12 4 6 2nn nnR annan      （令 n 为偶数）， 同理可求 当 n 为奇数时，收敛半径 R。 对已知级数两边逐项微分可得 39。 ( ) 1 ( )S x xS x ，且 (0) 1S 。 解此微分方程得 220( ) 1)xxtS x e e dt。 11 思想 :设法证明级数的和满足某个方程式，然后求此方程的解，即得级。