考前冲刺：排列组合的三大方法精要

考前冲刺：排列组合的三大方法精要内容摘要：

考前冲刺：排列组合的三大方法精要 1考前冲刺：排列组合的三大方法精要来源：华图教育 沈 栋在排列组合中，有三种特别常用的方法：捆绑法、插空法、插板法。 这三种方法有特定的应用环境，华图教育专家沈栋提醒考生应特别注意三种方法之间的差异及应用方法。 一、捆绑法精要：所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序。 提醒：其首要特点是相邻，其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。 【例题】有 10 本不同的书：其中数学书 4 本，外语书 3 本，语文书 3 本。 若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种。 解析：这是一个排序问题，书本之间是不同的，其中要求数学书和外语书都各自在一起。 为快速解决这个问题，先将 4 本数学书看做一个元素，将 3 本外语书看做一个元素，然后和剩下的 3 本语文书共 5 个元素进行统一排序，方法数为 ，然后排在一起的 4 本数5以在 4 本书内部也需要排序，方法数为 ，语书排序方法数为。 而三者之间是分步过程，故而用乘法原理得。 3题】5 个人站成一排，要求甲乙两人站在一起，有多少种方法。 解析：先将甲乙两人看成 1 个人，与剩下的 3 个人一起排列，方法数为 ，然后甲乙4两个人也有顺序要求，方法数为 ，因此站队方法数为。 242A【练习】一台晚会上有 6 个演唱节目和 4 个舞蹈节目，4 个舞蹈节目要排在一起，有多少不同的安排节目的顺序。 注释：运用捆绑法时，一定要注意捆绑起来的整体内部是否存在顺序的要求，有的题目有顺序的要求，有的则没有。 如下面的例题。 【例题】6 个不同的球放到 5 个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法。 解析：按照题意，显然是 2 个球放到其中一个盒子，另外 4 个球分别放到 4 个盒子中，因此方法是先从 6 个球中挑出 2 个球作为一个整体放到一个盒子中，然后这个整体和剩下的 4 个球分别排列放到 5 个盒子中，故方法数是。 256空法精要：所谓插空法，指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。 提醒：首要特点是不邻，其次是插空法一般应用在排序问题中。 【例题】若有 A、B、C、D、E 五个人排队，要求 A 和 B 两个人必须不站在一起，则有2多少排队方法。 解析：题中要求 人不站在一起，所以可以先将除 A 和 B 之外的 3 个人排成一排，方法数为 ，然后再将 A 和 B 分别插入到其余 3 个人排队所形成的 4 个空中，也就是从 43个空中挑出两个并排上两个人，其方法数为 ，因此总方法数。 2423【例题】8 个人排成一队，要求甲乙必须相邻且与丙不相邻，有多少种方法。 解析：甲乙相邻，可以捆绑看作一个元素，但这个整体元素又和丙不相邻，所以先不排这个甲乙丙，而是排剩下的 5 个人，方法数为 ，然后再将甲乙构成的整体元素及丙这5 人所形成的 6 个空里，方法数为 ，另外甲乙两个人内部还存在排26序要求为。 故总方法数为。 2习】5 个男生 3 个女生排成一排，要求女生不能相邻，有多少种方法。 注释：将要求不相邻元素插入排好元素时，要注释是否能够插入两端位置。 【例题】若有 A、B、C、D、E 五个人排队，要求 A 和 B 两个人必须不站在一起，且 不能站在两端，则有多少排队方法。 解析：原理同前，也是先排好 C、D、E 三个人，然后将 A、B 查到 C、D、E 所形成的两个空中，因为 A、B 不站两端，所以只有两个空可选，方法总数为。 32注释：对于捆绑法和插空法的区别，可简单记为“相邻问题捆绑法，不邻问题插空法”。 三、插板法精要：所谓插板法，指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比所需分组数目少 1 的板插入元素之间形成分组的解题策略。 提醒：其首要特点是元素相同，其次是每组至少含有一个元素，一般用于组合问题中。 【例题】将 8 个完全相同的球放到 3 个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法。 解析：解决这道问题只需要将 8 个球分成三组，然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。 因此问题只需要把 8 个球分成三组即可，于是可以讲 8 个球排成一排，然后用两个板查到 8 个球所形成的空里，即可顺利的把 8 个球分成三组。 其中第一个板前面的球放到第一个盒子中，第一个板和第二个板之间的球放到第二个盒子中，第二个板后面的球放到第三个盒子中去。 因为每个盒子至少放一个球，因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端，于是其放板的方法数是。 （板也是无区别的）27C【例题】有 9 颗相同的糖，每天至少吃 1 颗，要 4 天吃完，有多少种吃法。 解析：原理同上，只需要用 3 个板插入到 9 颗糖形成的 8 个内部空隙，将 9 颗糖分成4 组且每组数目不少于 1 即可。 因而 3 个板互不相邻，其方法数为。 3C【练习】现有 10 个完全相同的篮球全部分给 7 个班级，每班至少 1 个球，问共有多少3种不同的分法?注释：每组允许有零个元素时也可以用插板法，其原理不同，注意下题解法的区别。 【例题】将 8 个完全相同的球放到 3 个不同的盒子中，一共有多少种方法。 解析：此题中没有要求每个盒子中至少放一个球，因此其解法不同于上面的插板法，但仍旧是插入 2 个板，分成三组。 但在分组的过程中，允许两块板之间没有球。 其考虑思维为插入两块板后，与原来的 8 个球一共 10 个元素。 所有方法数实际是这 10 个元素的一个队列，但因为球之间无差别，板之间无差别，所以方法数实际为从 10 个元素所占的 10个位置中挑 2 个位置放上 2 个板，其余位置全部放球即可。 因此方法数为。 210别注意插板法与捆绑法、插空法的区别之处在于其元素是相同的。 四、具体应用【例题】一条马路上有编号为 1、2、9 的九盏路灯，现为了节约用电，要将其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种。 解析：要关掉 9 盏灯中的 3 盏，但要求相邻的灯不能关闭，因此可以先将要关掉的 3盏灯拿出来，这样还剩 6 盏灯，现在只需把准备关闭的 3 盏灯插入到亮着的 6 盏灯所形成的空隙之间即可。 6 盏灯的内部及两端共有 7 个空，故方法数为。 37C【例题】一条马路的两边各立着 10 盏电灯，现在为了节省用电，决定每边关掉 3 盏，但为了安全，道路起点和终点两边的灯必须是亮的，而且任意一边不能连续关掉两盏。 问总共可以有多少总方案。 A、120 B、320 C、400 D、420解析：考虑一侧的关灯方法，10 盏灯关掉 3 盏，还剩 7 盏，因为两端的灯不能关，表示 3 盏关掉的灯只能插在 7 盏灯形成的 6 个内部空隙中，而不能放在两端，故方法数为 ，3623640C注释：因为两边关掉的种数肯定是一样的（因为两边是同等地位） ，而且总的种数是一边的种数乘以另一边的种数，因此关的方案数一定是个平方数，只有 C 符合。