等价无穷小量的性质及推广应用(编辑修改稿)

等价无穷小量的性质及推广应用(编辑修改稿)内容摘要：

① 若 ()fx～ 1()fx、 ()gx～ 1()gx、且 11()lim ()fxgx 存在且 11()lim 1()fxgx,则有 ()fg ～ 11()fg . ② 若 ()fx～ 1()fx、 ()gx～ 1()gx、且 11()lim ()fxgx 存在且 11()lim 1()fxgx ,则有 ()fg ～ 11()fg . ③ 若 ()fx～ 1()fx、 ()gx～ 1()gx、 ()hx ～ 1()hx且 11()lim ()fxgx 存在且 11()lim 1()fxgx,则有 8 111limfgfghh  . 证明 ① 因为 11limfgfg = 11111lim 1gf ffgf ff= 1111 (1 )lim 1(1 )gffgff. 又因为 11lim lim 1ffgg  , 故上式等于 1. ② 因为 11limfgfg = 11111lim 1gf ffgf ff= 1111 (1 )lim 1(1 )gffgff. 又因为 11lim lim 1ffgg, 故上式等于 1. ③ 要证 111limfgfghh  成立 ,只需证 111lim 1hfgh f g  ,因为 fg ～ 11fg , ()hx ～ 1()hx, 所以结论得证 . 性质（ 1）、（ 3）的求极限中就使等价无穷小量的代换有了可能性 ,从而大大地简化了 计算 .但要注意条件 “lim  =c(≠ 1)” ,“ 39。 39。 ABCD≠0” 的使用 . 注意 1）需要注意的是在运用无穷小替换解题时 ,等价无穷小量一般只能在对积商的某一项做替换 ,和差的替换是不行的 . 9 2）以上性质说明我们利用无穷小量的代换性质将无穷小的等 价替换推广到和与差的形式 ,并对的不定式极限的求解 作了简化 ,使其适用的函数类范围扩大 ,从而简化函数极限的运算过程 ,对不定式极限的求解有很大的意义 . 4 等价无穷小量的应用 等价无穷小量的应用在冯录祥老师的 171。 关于等价无穷小量代换的一个注记 187。 、王斌老师的 171。 用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨 187。 、华东师范大学数学系的 171。 数学分析187。 、盛祥耀老师的 171。 高等数学 187。 、马振明老师和吕克噗老师的 171。 微分习题类型分析 187。 、Shivakumar N, H. SCAM: A Copy Detection Mechanism for Digital Documents [A]. The 2nd International Conference in Theory and Practice of Digital Libraries[C]. USA Austin Texas: [s. n]以及 刘玉琏老师和傅沛仁老师的 171。 数学分析讲义 187。 中都有详细的分析与注解 ,在这一部分我只是按照自己的需要从中选取内容 ,再加上自己筛选例题解答例题写出来的 .请看下面的内容： 在求极限中经常用到的等价无穷小量有 x ～ sinx ～ arcsinx ～ tanx ～ tanarc x ～ln(1 )x ～ xe 1, 1 cosx ～ 212x , 1xa ～ lnxa,( x →0) . 例 1 求 202tanlim1 cosxxx . 解 当 x →0 时 ,1 cosx ～ 212x , 2tanx ～ 2x . 原式 = 20 2412limxxx = 8 .. 例 2 求30 tan sinlimx xxx . 解 原式 =  30 sin 1 coslim cosx xx  = 23012lim cosx xxxx  (∵ sinx ～ x ,1 cosx ～ 212x ) = 12 . 10 此题也可用洛必达法则做 ,但不能用性质 ② 做 . 所以 ,30 tan sinlimx xxx =30limx xxx =0,不满足性质 ② 的条件 ,否则得出错误结论 0. 利 用 等 价 无 穷 小 ， 在 做 近 似 计 算 ， 有 时 可 以 起 到 意 想 不 到 的 效 果 ，如： 例 3 6 6564求 的 近 似 值 解 因为 0x 时 , 11n xx n   . 所以 666 5 11 2 .0 0 5 2 0 86 4 6 4  . 故 6 65 6 2 . 0 0 5 1 7 564 的 准 确 值 ， 保 留 小 数 点 后 位 可 得 为 2 . 0 0 5 2 0 8 2 . 0 0 5 1 7 5 ) / 2 . 0 0 5 1 7 5 0 . 0 0 0 0 1 6相 对 误 差 为 （ 这 说 明 计 算 精 度 已 经 很 高 利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限 例 4 求极限222201112lim (c o s ) sinxxxxx e x   解 由于函数的分母中 2sinx ～ 2x （ x 0） ,因此只需将函数分子中的 21 x 与分母中的 cosx 和 2xe 分别用佩亚诺余项的麦克劳林公式表示 ,即： 2 2 4 4111 1 ( )28x x x o x    , 221c os 1 (2x x o x   ）, 2 22e 1 o( )x xx   . 所以 11 222201112lim (c o s ) sinxxxxx e x  4 4 4 4200 442211( ) ( )88l im l im 33 o ( ) ()1x22xxx o x x o xx x o xx112 . 例 5 由拉格朗日中值定理 ,对任意的 x ＞ 1,存在  (0,1) ,使得l n (1 ) l n (1 ) l n (1 0 ) 1 xxx x      .证明 0 1lim ( ) 2x x  . 解 因 2 2ln(。