初中数学竞赛试题(编辑修改稿)

初中数学竞赛试题(编辑修改稿)内容摘要：

ODF← ∠ DOF=∠ DHB=∠ EHC=∠ EOG。 竞赛讲座 03 同余式与不定方程 同余式和不定方程是数论中古老而富有魅力的内容 .考虑数学竞赛的需要 ,下面介绍有关的基本内容 . 1. 同余 式及其应用 定义 :设 a、 b、 m 为整数（ m＞ 0），若 a 和 b 被 m 除得的余数相同，则称 a 和 b 对模m 同余 .记为 或 一切整数 n 可以按照某个自然数 m 作为除数的余数进行分类，即 n=pm+r（ r=0， 1， „ ，m1），恰好 m 个数类 .于是同余的概念可理解为 ,若对 n n2，有 n1=q1m+r， n2=q2m+r，那么 n n2 对模 m 的同余，即它们用 m 除所得的余数相等 . 利用整数的剩余类表示 ,可以证明同余式的下述简单性质 : (1) 若 ,则 m|(ba).反过来 ,若 m|(ba),则。 (2) 如果 a=km+b(k 为整数 ),则。 (3) 每个整数恰与 0,1,„ ， m1，这 m 个整数中的某一个对模 m 同余； (4) 同余关系是一种等价关系： ① 反身性 ； ② 对称性 ，则 ，反之亦然 . ③ 传递性 ， ，则 ； （ 5）如果 ， ，则 ① ； ② 特别地 应用同余式的上述性质，可以解决许多有关整数的问题 . 例 1（ 1898 年匈牙利奥林匹克竞赛题）求使 2n+1 能被 3 整除的一切自然数 n. 解 ∵ ∴ 则 2n+1 ∴ 当 n 为奇数时， 2n+1 能被 3 整除； 当 n 为偶数时， 2n+1 不能被 3 整除 . 例 2 求 2999最后两位数码 . 解 考虑用 100 除 2999所得的余数 . ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴2 999的最后两位数字为 88. 例 3 求证 31980+41981能 被 5 整除 . 证明 ∵ ∴ ∴ ∴ 2．不定方程 不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解 . (1) 不定方程解的判定 如果方程的两端对同一个模 m(常数 )不同余 ,显然 ,这个方程必无整数解 .而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解 . 例 4 证明方程 2x25y2=7 无整数解 . 证明 ∵2x 2=5y2+7，显然 y 为奇数 . ① 若 x 为偶数，则 ∴ ∵ 方程两边对同一整数 8 的余数不等， ∴x 不能为偶数 . ② 若 x 为奇数，则 但 5y2+7 ∴x 不能为奇数 .因则原方程无整数解 . 说明 :用整数的整除性来判定方程有无整数解 ,是我们解答这类问题的常用方法 . 例 5 (第 14 届美国数学邀请 赛题 )不存在整数 x,y 使方程 ① 证明 如果有整数 x， y 使方程 ① 成立， 则 = 知（ 2x+3y2） +5 能被 17 整除 . 设 2x+3y=17n+a，其中 a 是 0， 177。 1 ， 177。 2 ， 177。 3 ， 177。 4 ， 177。 5 ， 177。 6 ， 177。 7 ， 177。 8 中的某个数，但是这时（ 2x+3y） 2+5=（ 17n） 2+34na+（ a2+5） =a2+5（ mod17），而 a2+5 被17 整除得的余数分别是 5， 6， 9， 14， 4， 13， 7， 3， 1，即在任何 情况下（ 2x+3y）2+5 都不能被 17 整除，这与它能被 17 整除矛盾 .故不存在整数 x， y 使 ① 成立 . 例 7 （第 33 届美国数学竞赛题）满足方程 x2+y2=x3的正整数对（ x， y）的个数是（ ） . （ A） 0 （ B） 1（ C） 2（ D）无限个（ E）上述结论都不对。