数学运算之几何问题专题（国考）

数学运算之几何问题专题（国考）内容摘要：

数学运算之几何问题专题（国考） 数学运算之几何问题专题面积基本公式：（1）三角形的面积 S1/2 （2）长 方形的面积 Sa×b （3）正方形的面积 Sa 2 （4）梯形的面积 S(a+b)/2×h （5）圆的面积=r 21/4d 2（1）等底等高的两个三角形面积相同；（2）等底的两个三角形面积之比等于高之比；（3）等高的两个三角形面积之比等于底之比。 解决面积问题的核心是“ 割、补”思维，即当我们看到一个关于求解面积的问题，不要立刻套用公式去求解，这样做很可能走入误区，最后无法求解或不能快速求解。 对于此类问题通常的使用的方法就是“辅助线法 ”即通过引入新的辅助线将图形分割或者补全为很容易得到的规则图形，从而快速求得面积。 体积基本公式：(1)长方体的体积 V (2)正方体的体积 V)圆柱的体积 V S 为圆柱底面积。 (4)圆锥的体积 V1/31/3S 为圆锥底面积。 周长基本公式：（1）长方形的周长 C(ab)×2（2）正方形的周长 Ca×4 （3）圆的周长 C2r 、现有边长 1 米的一个木质正方体，已知将其放入水里，将有 浸入水中，如果将其分割成边长 的小正方体，并将所有的小正方体都放入水中，直接和水接触的表面积总量为（）。 A16平方米【解析】边长 1 米的一个木质正方体放入水里，有 浸入水中，说明要考虑水的浮力的作用，并且告诉了浮力的大小。 可以得到的小正方体有 64 个，每一个直接和水接触的表面积包括一个底面和 4 个侧面的 60%。 根据题意，直接和水接触的表面积总量为 64×（方米）。 答案 选 C。 例 2、甲、乙两个容器均有 50 厘米深，底面 积之比为 54，甲容器水深 9 厘米，乙容器水深 5 厘米，再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等， 这时两容器的水深是（）。 A20厘米 B25厘米 C30厘米 D35厘米【解析】不妨假设两个容器的底面积分别为 5 和 4，设注入同样多的水后相等的水深为 x 厘米，根据题意，注入水的体积相等，得到方程 5（4（解方程得x=25（厘米）。 答案选 B。 例 3、半径为 5 厘米的三个圆弧围成如右图所示的区域，其中 与 为四分之一圆弧，而 是一个半圆弧，则此区域的面积是多少平方厘米?()A25B10+5C50D【解析】作辅助线如右图所示，显然所求区域面积等于矩形 面积，即5×10=50（平方厘米）。 答案选 C。 例 4、一个边长为 8 的正立方体，由若干个边长为 1 的正立方体组成， 现在要将大立方体表面涂漆，请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色?()A296B324C328D384【解析】解法一：大立方体的表面积就是被涂了色的小立方体的面数，等于8×8×6=384（面），其中顶点上的 8 个小立方体每个都有 3 个面被涂了颜色，12 条棱每条棱上有 6 个小立方体每个都有 2 个面被涂了颜色。 可以想象，被涂色的小立方体的个数与被涂了色的小立方体的面数相比，3 个面被涂了颜色的小立方体算了 3 次，2 个面被涂了颜色的小立方体算了 2 次，因此，被涂色的小立方体的个数=384=296（个）。 答案选 A。 解法二：小立方体共有 83=512（个），其中在内部（没有一个面在外侧）的共有63=216（个），则在外部的共有 51296（个），因此，被涂色的小立方体有 296个。 答案选 A。 例 5、右图中心线上半部与下半部都是由 3 个红色小三角形，5 个蓝色小三角形与 8 个白色小三角形所组成。 当把上半图沿着中心线往下折叠时，有 2 对红色小三角形重合，3 对蓝色小三角形重合，以及有 2 对红色与白色小三角形重合， 试问有多少对白色小三角形重合?()A4B5C6D7【解析】依题意，该图共有 6 个红色小三角形， 10 个蓝色小三角形， 16 个白色小三角形，折叠后有 6 个红色小三角形，6 个蓝色小三角形，2 个白色小三角形重合，可以想象剩余的 4 个蓝色小三角形要与 4 个白色小三角形重合，于是剩余的 10个白色小三角形重合，即 5 对。 答案 选 B。 例 6、半径为 1 厘米的小圆在半径为 5 厘米的固定的大圆外滚动一周，小圆滚了几圈?()A4B5C6D7【解析】小圆在大圆外滚动一周的圈数等于大圆周长与小圆周长比较的倍数。 圆周等于 2，即圆周的倍数等于半径的倍数，即答案 为 5。 选 B。 例 7、欲建一道长 100 尺，高 7 尺的单层砖墙，能够 使用的砖块有两种：长 2 尺高1 尺或长 1 尺高 1 尺(砖块不能切割)。 垂直连接砖块必须如右图所示交错间隔，且墙的两端必须砌平整。 试问至少需要多少砖块才能建成此墙?()A347B350C353D366【解析】由墙高 7 尺可知共需砌 7 层，要用砖尽量少，则第 1、3、5、7 层用 50 块长2 尺高 1 尺的砖，2、4、 6 层两头各用一块长 1 尺高 1 尺的砖，中间用 49 块长 2尺高 1 尺的砖。 所以共需用砖 4×50+3×（49+2）=353（块）。 答案选 C。 例 8、设有边长为 2 的正立方体。 假定在它顶上的面再粘上一个边长为 1 的正立方体(如右 图)。 试问新立体的表面积比原立方体的表面积增加的百分比最接近于下面哪一个数?()A10B15C17D21【解析】原立方体的表面积为：2×2×6=24 ，新立方体的表面积为：2×2×6+1×1×4=28，增加的百分比为：287%。 答案选 C。 例 9、一个油漆匠漆一间房间的墙壁，需要 3 天时间。 如果用同等速度漆一 间长、宽、高都比原来大一倍的房间的墙壁，那么需要多少天?()A3B12C24D30【解析】长、宽、高都比原来大一倍，表面 积就是原来的 4 倍，因此需要 3×4=12（天）。 答案选 B。 例 10、对右图方格板中的两个四边形，下列表述正确的是()。 A四边形的面积大于四边形的面积B四边 形的面积小于四边形的面积C两个四 边形有相同的面积，但 的周长大于的周长D两个四边形有相同的面积，但的周长小于的周长【解析】将两个四边形分成四个三角形，如下图所示，四个三角形等底等高，面 积相等，因此，两个四边形有相同的面积；同时，2， 4 完全相同，1 和 3 的两条底边相等，第二、三条边 3 比 1 长。 因此，的周长小于的周长。 答案选 D。 例 11、设 S、R、T 三点为一等 边三角形的三个顶点，X、 Y、Z 为边的中点。 若用此六个点中的任意三个点作顶点，可有多少类面积不等的三角形?()A2B3C4D5【解析】如图所示，可以看到，不同形状的三角形有中 积相等，所以，共有 3 类面积不等的三角形。 答案选 B。 例 12、一家冷饮店，过去用圆柱形的纸杯子装汽水，每杯卖 2 元钱，一天能卖100 杯。 现在改用同样底面积和高度的圆锥形纸杯子装，每杯只卖 1 元钱。 如果该店每天卖汽水的总量不变，那么现在每天的销售额是过去的多少? （）A50B100 C150 D200 【解析】过去每天的销售额是 2×100=200（元）。 由于等底等高的圆柱体的体积是圆锥体的 3 倍，那么如果该店每天卖汽水的总量不变，每天要卖 300 杯， 则现在每天的销售额是 1×300=300（元），是原来的。 答案选 C。 例 13、一个长方体形状的盒子长、 宽、高分别为 20 厘米、8 厘米和 2 厘米，现在要用一张纸将其六个面完全包裹起来，要求从纸上剪下的部分不得用作贴补，请问这张纸的大小可能是下列哪一个?（）A长 25 厘米、宽 17 厘米 B长 26 厘米、宽 14 厘米C长 24 厘米、宽 21 厘米 D长 24 厘米、宽 14 厘米【解析】纸的面积一定大于或等于长方体的表面积，通过运算，符合条件的只有C。 答案选 C。 例 14 如图，三角形 面积为 1，并且 D=2么 面积是多少。 解：在，80°因为 以 因为 以 S×2×S×1=4答： 面 积是 4例 15 如图，在， 6 倍， 3 倍如果面积等于 1 平方厘米，那么面积是多少。 解：在， 为 C=3以 S×3×S8×1=18（平方厘米）答：面积为 18 平方厘米例 16 如图，将各边都延长一倍至 A、 B、 C，连接这些点，得到一个新的三角形 ABC若 面积为 1，求ABC的面积解：在ABB 与，A 80°因为 A，所以AB=2因为 BB=以 SABB=1×2×SS同理 SBCC=2×1×SSACA=2×1×S所以 SABC=SABB+SBCC+SACA+S+2+2+1=7答： ABC的面积为 7例 17 如下图，将凸四边形 各边都延长一倍至 A、B、 C、D，连接这些点得到一个新的四边形 ABCD，若四 边形 ABCD的面积为 30 平方厘米，那么四边形 面积是多少。 分析 要求四边形 面积，必 须求出四边形 四边形 ABCD的关系，因而就要求出ABB、 BCC、CDD、AD关系解：连结 D在ABB 与， A80°因为 AA=以 AB=2因为 BB=以有 SABB=2×1×SS理 有 SBCC=2×1×SSDD=2×1×SSDA=2×1×SS以 S 四边形 ABCD=SABB+SBCC+SCDD+SADA+SSSS 四边形 （S2（SS 四边形 S 四边形 S 四边形 四边形 S 四边形 四边 形 0÷5=6（平方厘米）答：四边形 面积为 6 平方厘米1C，面积为 1 平方厘米， 则面积为多少平方厘米。 解：连接 上图在， 80°，因为 以有 S×2×S×1=4（平方厘米）在， 80°，因为111以有 S×1×S×1=1（平方厘米）在。