数学运算之剩余定理专题（国考）

数学运算之剩余定理专题（国考）内容摘要：

数学运算之剩余定理专题（国考） 数学运算之剩余定理专题【例 1】一个数被 3 除余 1，被 4 除余 2，被 5 除余 4，这个数最小是几。 【解析】题中 3、4、5 三个数两两互质。 则4，5=20；3，5 =15；3，4=12；3，4，5=60。 为了使 20 被 3 除余 1，用 20×2=40； 使 15 被 4 除余 1，用 15×3=45； 使 12 被 5 除余 1，用 12×3=36。 然后，40×145×236×4=274， 因为，274>60，所以，27460×4=34，就是所求的数。 【例 2】一个数被 3 除余 2，被 7 除余 4，被 8 除余 5，这个数最小是几。 在 1000 内符合这样条件的数有几个.。 【解析】题中 3、7、8 三个数两两互质。 则7，8=56；3，8 =24；3，7=21；3，7，8=168。 为了使 56 被 3 除余 1，用 56×2=112； 使 24 被 7 除余 1，用 24×5=120。 使 21 被 8 除余 1，用 21×5=105； 然后，112×2120×4105×5=1229， 因为，1229>168，所以，1229168×7=53，就是所求的数。 再用(1000168 得 5, 所以在 1000 内符合条件的数有 6 个. 【例 3】一个数除以 5 余 4，除以 8 余 3，除以 11 余 2，求 满足条件的最小的自然数。 【解析】题中 5、8、11 三个数两两互质。 则8，11=88；5，11 =55；5，8=40；5，8，11=440。 为了使 88 被 5 除余 1，用 88×2=176； 使 55 被 8 除余 1，用 55×7=385； 使 40 被 11 除余 1，用 40×8=320。 然后，176×4385×3320×2=2499， 因为，2499>440，所以，2499440×5=299，就是所求的数。 【例 4】有一个年级的同学，每 9 人一排多 5 人，每 7 人一排多 1 人，每 5 人一排多 2 人，问这个年级至少有多少人。 【解析】题中 9、7、5 三个数两两互质。 则7，5=35；9，5 =45；9，7=63；9，7，5=315。 为了使 35 被 9 除余 1，用 35×8=280； 使 45 被 7 除余 1，用 45×5=225； 使 63 被 5 除余 1，用 63×2=126。 然后，280×5225×1126×2=1877， 因为，1877>315，所以，1877315×5=302，就是所求的数。 关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”，这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。 【例一】一个数被 5 除余 2，被 6 除少 2，被 7 除少 3，这个数最小是多少。 解法：题目可以看成，被 5 除余 2，被 6 除余 4，被 7 除余 4。 看到那个“被 6 除余4，被 7 除余 4”了么，有同余数的话，只要求出 6 和 7 的最小公倍数，再加上 4，就是满足后面条件的数了，646。 下面一步试下 46 能不能满足第一个条件“一个数被 5 除余 2”。 不行的话，只要再 46 加上 6 和 7 的最小公倍数 42，一直加到能满足“ 一个数被 5 除余 2”。 这步的原因是，42 是 6 和 7 的最小公倍数，再怎么加都会满足“被 6 除余 4，被 7 除余 4”的条件。 46428846424213046424242172【例二】一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生。 解法：题目可以看成，除 3 余 2，除 5 余 3，除 7 余 4。 没有同余的情况，用的方法是“逐步约束法 ”，就是从“除 7 余 4 的数” 中找出符合“除 5 余 3 的数”，就是再 7上一直加 4，直到所得的数除 5 余 3。 得出数 为 18，下面只要在 18 上一直加 7 和5 得最小公倍数 35，直到满足“除 3 余 2”471111718183553【例 1】在国庆 50 周年仪仗队的训练营地，某连队一百多个战士在练习不同队形的转换。 如果他们排成五列人数相等的横队，只剩下连长在队伍前面喊口令。 如果他们排成七列这样的横队，只有连长仍然可以在前面领队，如果他们排成八列，就可以有两个作为领队了。 在全营排练时， 营长要求他们排成三列横队。 以一哪项是最可以出现的情况。 A 该连队官兵正好排成三列横队。 B 除了 连长外，正好排成三列横队。 C 排成了整 齐的三列横队，加有两人作 为全营的领队。 D 排成了整齐的三列横队，其中有一人是其他 连队的【解析】这个数符合除以 5 余 1，除以 7 余 1，除以 8 余 2；符合除以 5 余 1，除以 7 余 1 的最小数为 36，那么易知符合除以 5 余 1，除以 7 余 1，除以 8 余 2 为 106，106÷3=35 余 1，所以 选 B。 【习题一】1 到 500 这 500 个数字， 最多可取出多少个数字， 保证其取出的任意三个数字之和不是 7 的倍数。 【解析】每 7 个数字 1 组，余数都是 1，2，3，4，5，6，0，要使得三个数字之和不是 7 的倍数，那么其余数之和就不是 7 的倍数。 我们应该挑选 0，1，2，或者 0，5，6 因为 7/3=2 也就是 说最大的数字不能超 过 2 ，例如 如果是 1，2，3 那么 我们可以取 3，3，1 这样的余数，其和就是 7 500/7=71 余数是 3， 且剩下的 3 个数字余数是 1，2，3要得去得最多，那么我们取 0，1，2 比较合适 因为 最后剩下的是 1，2，3 所以这样就多取了 2 个但是还需注意 0 不能取超过 2 个 如果超过 2 个 是 3 个以上的话 3 个 0 就可以构成 7 的倍数 0 也能被 7 整除所以答案是 71 个 1，2 和剩下的一组 1，2 外加 2 个 071×2 22 146。