高考数学数列求和及数列实际问题复习资料(编辑修改稿)

高考数学数列求和及数列实际问题复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

－ an1 ≤ an2－ 1（ n≥3） , 即 an 的值要么比 an1 至少小 1，要么比 an2 至少小 1. 令 = 2 1 2 1 22 2 1 2( ),( ),n n nn n na a aa a a n=1， 2， 3，„„， 第 10 页 共 23 页 则 0≤ 1－ 1（ n=2， 3， 4„„） . 由于 c1 是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 c10 这与 0（ n=1， 2， 3„„）矛盾 .从而 {an}必有零项。 若第一次出现的零项为第 n 项，记 an1=A（ A≠ 0） ，则自第 n 项开始 ，没三个相邻的项周期地取值 O， A， A，即 331320, 0 , 1 , 2 , 3 ,nknknkaa A kaA… … 所以绝对 等差数列 {an}中有无穷多个为零的项。 点评：通过设置“等差数列”这一概念加大学生对情景问题的阅读、分析和解决问题的能力。 例 14． （ 20xx 江苏 23） 设数列 {an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝ 1， a2＝ 6， a3＝ 11，且 1( 5 8 ) ( 5 2) , 1 , 2 , 3 ,nnn S n S A n B n      „ ，其中 A,B 为常数。 （ Ⅰ ）求 A 与 B 的值； （ Ⅱ ）证明数列 {an}为等差数列； （ Ⅲ ）证明不等式 51m n m na a a对任何正整数 m、 n 都成立 分析：本题是一道数列综合运用题，第一问由 a a a3 求出 s s s3 代入关系式，即求出 A、 B；第二问利用 )1(1   nssa nnn 公式，推导得证数列 {an}为等差数列。 解答：（ 1）由已知，得 S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18。 由 (5n－ 8)Sn+1－ (5n+2)Sn=An+B 知：     .482 .28,2122 ,732312 BA BABASS BASS 即。 解得 A=－ 20， B=－ 8。 （ Ⅱ ）方法 1 由（ 1）得，（ 5n8） Sn+1(5n+2)Sn=20n8, ① 所以 (5n3)Sn+2(5n+7)Sn+1=20n28, ② ② ① ,得 , (5n3)Sn+2(10n1)Sn+1+(5n+2)Sn=20, ③ 所以 (5n+2)Sn+3(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=20.④ ④ ③ ,得 (5n+2)Sn+3(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1(5n+2)Sn=0. 因为 an+1=Sn+1Sn 所以 (5n+2)an+3(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0. 又因为 (5n+2) 0 , 所以 an+32an+2+an+1=0, 即 an+3an+2=an+2an+1, 1n . 又 a3a2=a2a1=5, 第 11 页 共 23 页 所以数列 }{na 为等差数列。 方法 2. 由已知， S1=a1=1, 又 (5n8)Sn+1(5n+2)Sn=20n8,且 5n8 0 , 所以数列 }{}{ nn a，s 因而数列是惟一确定的 是惟一确定的。 设 bn=5n4,则数列 }{nb 为等差数列，前 n 项和 Tn= ,2 )35( nn 于是 (5n8)Tn+1(5n+2)Tn=(5n8) ,8202 )35()25(2 )25)(1(  nnnnnn 由惟一性得 bn=a,即数列 }{na 为等差数列。 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知， an=1+5(n1)=5n4. 要证了 ,15  nmmn aaa 只要证 5amn 1+aman+2 nmaa 因为 amn =5mn 4,aman=(5m4)(5n4)=25mn 20(m+n)+16, 故只要证 5（ 5mn 4） 1+25mn 20(m+n)+16+2 ,nmaa 因为 )291515(8558552  nmnmnmaaaa nmnm =20m+20n37, 所以命题得证。 点评 ：本题主要考查了等差数列的有关知识，不等式的证明方法，考查了分析推理、理性思维能力及相关运算能力等。 五．思维总结 1． 数列求和的常用方法 （ 1）公式法 ： 适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列 ； （ 2） 裂项相消法 ： 适用于1nnaac 其中 { na }是各项不为 0 的等差数列， c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等 ； （ 3） 错位相减法 ： 适用于  nnba 其中 { na }是等差数列， nb 是各项不为 0 的等比数列。 （ 4） 倒序相加法 ： 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法 . （ 5） 分组求和法 第 12 页 共 23 页 （ 6） 累加（乘）法等。 2． 常用结论 （ 1）1nk k  1+2+3+...+n = 2 )1( nn （ 2）1(2 1)nk k 1+3+5+...+(2n1) = 2n （ 3） 31nk k 2333 )1(2121   nnn （ 4） 21nk k  )12)(1(61321 2222  nnnn （ 5）111)1( 1  nnnn )211(21)2( 1  nnnn （ 6） )()11(11 qpqppqpq  3．数学思想 （ 1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法）若 1 ( ), ( 2 )nna a f n n  ，则„„； （ 2）迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法）若1 ( )( 2)nna g n na ，则„„； （ 3）逆序相加（等差数列求和公式的推导方法）； （ 4）错位相减（等比数列求和公式的推导方法）。 普通高中课程标准实验教科书 — 数学 [人教版 ] 高三新 数学 第一轮复习教案（讲座 29） — 等比数列 一．课标要求： 1． 通过实例，理解等比数列的概念 ； 2． 探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的公式 ； 3． 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。 体会等比数列与指数函数的关 系。 二．命题走向 等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。 客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应第 13 页 共 23 页 用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具。 预测 07 年高考对本讲的考察为： （ 1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的 1~2 道客观题目； （ 2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点； （ 3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学 知识分析问题和解决问题的能力。 三．要点精讲 1． 等比数列定义 一般地，如果一个数列从 第二项起 ． ． ． ． ，每一项与它的前一项的比等于同一个 常数 ． ． ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示( 0)q ，即： 1na ： ( 0)na q q数列对于数列（ 1）（ 2）（ 3）都是等比数列，它们 的公比依次是 2， 5，21。 （注意：“从第二项起”、 “常数” q 、等比数列的公比和项都不为零） 2．等比数列通项公式为： )0( 111   qaqaa nn。 说明：（ 1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比 1d 时该数列既是等比数列也是等差数列；（ 2）等比数列的通项公式知：若 {}na 为等比数列，则 mnmna qa 。 3．等比中项 如果在 ba与 中间插入一个数 G ，使 bGa , 成等比数列，那么 G 叫做 ba与 的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。 4． 等比数列 前 n 项和公式 一般地，设等比数列 1 2 3, , , , ,na a a a 的前 n 项和是 nS 1 2 3 na a a a   ，当 1q 时，qqaSnn  1 )1(1 或 11 nn a a qS q ；当 q=1 时， 1naSn  （错位相减法）。 说明：（ 1） nSnqa ,1 和 nn Sqaa ,1 各已知三个可求第四个；（ 2）注意求和公式中是 nq ，通项公式中是 1nq 不要混淆；（ 3）应用求和公式时 1q ，必要时应讨论 1q 的情况。 四．典例解析 题型 1：等比数列的概念 例 1．“公差为 0 的等差数列是等比数列”；“公比为21的等比数列一定是递减数列”；“ a,b,c 三数成等比数列的充要条件是 b2=ac”；“ a,b,c 三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（ ） A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 解析：四个命题中只有最后一个是真命题。 命题 1 中未考虑各项都为 0 的等差数列不是等比数列； 第 14 页 共 23 页 命题 2 中可知 an+1=an179。 21， an+1an 未必成立，当首项 a10 时， an0，则21anan，即an+1an，此时该数列为递增数列； 命题 3 中，若 a=b=0， c∈ R，此时有 acb 2 ，但数列 a,b,c 不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为 b= ac ，则成为不必要也不充分条件。 点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。 例 2．命题 1：若数列 {an}的前 n 项和 Sn=an+b(a≠ 1)，则数列 {an}是等比数列； 命题 2：若数列 {an}的前 n 项和 Sn=an2+bn+c(a≠ 0)，则数列 {an}是等差数列； 命题 3：若数列 {an}的前 n 项和 Sn=na－ n，则数列 {an}既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有（ ） A． 0 个 B． 1 个 C． 2 个 D． 3 个 解析： 由命题 1 得， a1=a+b，当 n≥ 2 时， an=Sn－ Sn－ 1=(a－ 1)178。 an－ 1。 若。