高考数学历年常考题型(编辑修改稿)

高考数学历年常考题型(编辑修改稿)内容摘要：

. ●难点磁场 (★★★★ ★ )已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图，求 b 的范围 . ●案例探究 ［例 1］对函数 y=f(x)定义域中任一个 x 的值均有 f(x+a)=f(a－ x),(1)求证 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称； (2)若函数 f(x)对一切实数 x 都有 f(x+2)=f(2－ x),且方程 f(x)=0 恰好有四个不同实根，求这些实根之和 . 命题意图：本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题 .属★★★★★级题目 . 知识依托：把证明图象对称问题转化到点的对称问题 . 错解分 析：找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化 . 技巧与方法：数形结合、等价转化 . (1)证明：设 (x0,y0)是函数 y=f(x)图象上任一点，则 y0=f(x0),又 f(a+x)=f(a－ x),∴ f(2a－ x0)= f［ a+(a－ x0)］ =f［ a－ (a－ x0)］ =f(x0)=y0,∴ (2a－ x0,y0)也在函数的图象上，而2 )2( 00 xxa =a,∴点 (x0,y0)与 (2a－ x0,y0)关于直线 x=a 对称，故 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称 . (2)解：由 f(2+x)=f(2－ x)得 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称，若 x0 是 f(x)=0的根，则 4－ x0 也是 f(x)=0 的根，由对称性， f(x)=0 的四根之和为 8. ［例 2］如图，点 A、 B、 C 都在函数 y= x 的图象上，它们的横坐标分别是a、 a+ a+ A、 B、 C 在 x 轴上的射影分别是 A′、 B′、 C′ ,记△ AB′ C 的面积为 f(a),△ A′ BC′的面积为 g(a). (1)求函数 f(a)和 g(a)的表达式； (2)比较 f(a)与 g(a)的大小 ，并证明你的结论 . 命题意图：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等 .属★★★★★级题目 . 知识依托：充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口 . 错解分析：图形面积不会拆拼 . 技巧与方法：数形结合、等价转化 . 解： (1)连结 AA′、 BB′、 CC′ ,则 f(a)=S△ AB′ C=S 梯形 AA′ C′ C－ S△ AA′ B′ － S△ CC′ B =21(A′ A+C′ C)=21( 2 aa ), g(a)=S△ A′ BC′ =21A′ C′178。 B′ B=B′ B= 1a . 0)1112 1(21)]1()12[(21)122(21)()()2(aaaaaaaaaaaagaf ∴ f(a)g(a). ●锦囊妙计 ，掌握函数作图的基本方法： (1)描点法：列表、描点、连线； (2)图象变换法：平移变换、对称变换、伸缩变换等 . .题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也 有出现，须引起重视 . ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★ )当 a≠ 0 时， y=ax+b 和 y=bax的图象只可能是 ( ) 2.(★★★★ )某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中 y 轴表示离学校的距离， x 轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是 ( ) 二、填空题 3.(★★★★★ )已知函数 f(x)=log2(x+1)，将 y=f(x)的图象向左平移 1 个单位，再将图 象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 (横坐标不变 )，得到函数 y=g(x)的图象，则函数 F(x)=f(x)－ g(x)的最大值为 _________. 三、解答题 4.(★★★★ )如图，在函数 y=lgx 的图象上有 A、 B、C 三点，它们的横坐标分别为 m,m+2,m+4(m1). (1)若△ ABC 面积为 S，求 S=f(m)。 (2)判断 S=f(m)的增减性 . 5.(★★★★ )如图，函数 y=23|x|在 x∈［－ 1,1］的图象上有两点 A、 B， AB∥ Ox 轴，点 M(1， m)(m∈ R 且 m23)是△ ABC 的 BC 边的中点 . (1)写出用 B 点横坐标 t 表示△ ABC 面积 S 的函数解析式S=f(t)。 (2)求函数 S=f(t)的最大值，并求出相应的 C 点坐标 . 6.(★★★★★ )已知函数 f(x)是 y=1102x－ 1(x∈ R)的反函数，函数 g(x)的图象与函数 y=－21x的图象关于 y 轴对称，设 F(x)=f(x)+g(x). (1)求函数 F(x)的解析式及定义域； (2)试问在函数 F(x)的图象上是否存在两个不同的点 A、 B，使直线 AB恰好与 y 轴垂直。 若存在，求出 A、 B 的坐标；若不存在，说明理由 . 7.(★★★★★ )已知函数 f1(x)= 21 x ,f2(x)=x+2, (1)设 y=f(x)=   ]1,0[ ),(3 )0,1[ ),( 21 xxf xxf，试画出 y=f(x)的图象并求 y=f(x)的曲线绕 x 轴旋转一周所得几何体的表面积； (2)若方程 f1(x+a)=f2(x)有两个不等的实根，求实数 a 的范围 . (3)若 f1(x)f2(x－ b)的解集为［－ 1，21］，求 b 的值 . 8.(★★★★★ )设函数 f(x)=x+x1的图象为 C1， C1 关于点 A(2， 1)对称的图象为 C2， C2 对应的函数为 g(x). (1)求 g(x)的解析表达式； (2)若直线 y=b 与 C2 只有一个交点，求 b 的值，并求出交点坐标； (3)解不等式 logag(x)loga29 (0a1). 参考答案 难点磁场 解法一：观察 f(x)的图象，可知函数 f(x)的图象过原点，即 f(0)=0,得 d=0,又f(x)的图象过 (1， 0)，∴ f(x)=a+b+c① ,又有 f(－ 1)＜ 0,即－ a+b－ c＜ 0② ,① +②得 b＜ 0,故 b 的范围是 (－∞ ,0) 解法二：如图 f(0)=0 有三根，∴ f(x)=ax 3+bx2+cx+d=ax(x－ 1)(x－ 2)=ax3－3ax2+2ax,∴ b= － 3a,∵ a0,∴ b＜ 0. 歼灭难点训练 一、 ：∵ y=bax=(ba)x,∴这是以 ba 为底的指数函数 .仔细观察题目中的直线方程可知：在选择支 B 中 a0,b1,∴ ba1,C 中 a＜ 0,b1,∴ 0＜ ba＜ 1,D 中 a＜0,0＜ b＜ 1,∴ ba B、 C、 D 均与指数函数 y=(ba)x 的图象不符合 . 答案： A ：由题意可知，当 x=0 时， y 最大，所以排除 A、 ，所以直线随着 x 的增大而急剧下降 . 答案： D 二、 ： g(x)=2log2(x+2)(x－ 2) F(x)=f(x)－ g(x)=log2(x+1)－ 2log2(x+2) =log21 441lo g441lo g)2(122222  x xxxxxxx )1(21111lo g 2  xxx ∵ x+10,∴ F(x)≤41lo g211)1(21lo g22  xx=－ 2 当且仅当 x+1= 11x,即 x=0 时取等号 . ∴ F(x)max=F(0)=－ 2. 答案：－ 2 三、 ： (1)S△ ABC=S 梯形 AA′ B′ B+S 梯形 BB′ C′ C－ S 梯形 AA′ C′ C. (2)S=f(m)为减函数 . ： (1)依题意，设 B(t,23 t),A(－ t, 23t)(t0),C(x0,y0). ∵ M 是 BC 的中点 .∴20xt=1,223 0yt =m. ∴ x0=2－ t,y0=2m－23△ ABC 中， |AB|=2t,AB 边上的高 hAB=y0－23t=2m－ 3t. ∴ S=21|AB|178。 hAB= 21178。 2t178。 (2m－ 3t),即 f(t)=－ 3t2+2mt,t∈ (0,1). (2)∵ S=－ 3t2+2mt=－ 3(t－3m)2+32m,t∈ (0,1 ] ,若23130mm，即23＜ m≤ 3,当t=3m时， Smax=32m,相应的 C 点坐标是 (2－3m, 23m),若3m1,即 m=f(t)间 (0， 1］上是增函数，∴ Smax=f(1)=2m－ 3,相应的 C 点坐标是 (1， 2m－ 3). ： (1)y=1102x－ 1 的反函数为 f(x)=lgxx11(－ 1＜ x＜ 1) . 由已知得 g(x)=21x,∴ F(x)=lgxx11+21x,定义域为 (－ 1， 1). (2)用定义可证明函数 u=xx11=－ 1+12x是 (－ 1， 1）上的减函数，且 y=lgu是增函数 .∴ f(x)是 (－ 1， 1）上的减函数，故不存在符合条件的点 A、 B. ： (1） y=f(x)=  ]1,0[,1 )0,1[,12xx xx.图略 . y=f(x)的曲线绕 x 轴旋转一周所得几何体的表面积为 (2+ 2 )π . (2)当 f1(x+a)=f2(x)有两个不等实根时， a 的取值范围为 2－ 2 ＜ a≤ 1. (3)若 f1(x)f2(x－ b)的解集为［－ 1，21］，则可解得 b=235. 8.(1)g(x)=x－ 2+41x.(2)b=4 时，交点为 (5， 4)； b=0 时，交点为 (3， 0). (3)不等式的解集为 {x|4＜ x＜29或 x6} . 难点 11 函数中的综合问题 函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样 .本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力 . ●难点磁场 (★★★★★ )设函数 f(x)的定义域为 R，对任意实数 x、 y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x0 时 f(x)0 且 f(3)=－ 4. (1)求证： f(x)为奇函数； (2)在区间［－ 9， 9］上，求 f(x)的最值 . ●案例探究 ［例 1］设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x=1 对称，对任意x x2∈［ 0,21］ ,都有 f(x1+x2)=f(x1)178。 f(x2),且 f(1)=a0. (1)求 f(21)、 f(41)。 (2)证明 f(x)是周期函数； (3)记 an=f(n+n21),求 ).(lnlimnn a 命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力 . 知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件 f(x1+x2)=f(x1)178。 f(x2)找到问题的突破口 . 错解分析：不会利用 f(x1+x2)=f(x1)178。 f(x2)进行合理变形 . 技巧与方法：由 f(x1+x2)=f(x1)178。 f(x2)变形为 )2()2()2()22()( xfxfxfxxfxf 是解决问题的关键 . (1) 解：因为对 x1,x2∈［ 0,21］ ,都有 f(x1+x2)=f(x1)178。 f(x2),所以 f(x)= )2()22( xfxxf ≥ 0, x∈［ 0,1］ 又因为 f(1)=f(21+21)=f(21)178。 f(21)=［ f(21)］ 2 f(21)=f(41+41)=f(41)178。 f(41)=［ f（41） ］ 2 又 f(1)=a0 ∴ f(21)=a21 ,f(41)=a41 (2)证明：依题意设 y=f(x)关于直线 x=1 对称，故 f(x)=f(1+1－ x),即 f(x)=f(2－x),x∈ R. 又由 f(x)是偶函数知 f(－ x)=f(x),x∈ R ∴ f(－ x)=f(2－ x),x∈ R. 将上式中－ x 以 x 代换得 f(x)=f(x+2)，这表明 f(x)是 R 上的周期函数，且 2是它的一个 周期 . (3)解：由 (1)知 f(x)≥ 0,x∈［ 0,1］ ∵ f(21)=f(n178。 n21)=f(n21+(n－ 1) n21)=f(n21)178。 f((n－ 1)178。 n21) =„„ =f(n21)178。 f(n21)。