高中数学基本初等函数考点分析(编辑修改稿)

高中数学基本初等函数考点分析(编辑修改稿)内容摘要：

7 ∴ bn=20xx(107) 21n。 数列 {bn}是一个递减的正数数列， 对每个自然数 n≥ 2,Bn=bnBn－ 1。 于是当 bn≥ 1 时， BnBn－ 1，当 bn1 时， Bn≤ Bn－ 1， 因此数列 {Bn}的最大项的项数 n 满足不等式 bn≥ 1 且 bn+11， 由 bn=20xx(107) 21n ≥ 1 得： n≤ 20。 ∴ n=20。 点评：本题题设从函数图像入手，体现数形结合的优越性，最终还是根据 函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。 例 16． 已知函数 1,0)((l o g)(  aaxaxxf a 为常数） （ 1）求函数 f(x)的定义域； （ 2）若 a=2，试根据单调性定义确定函数 f(x)的单调性。 （ 3）若函数 y=f(x)是增函数，求 a 的取值范围。 解： （ 1）由 axxxax  得0 ∵ a＞ 0， x≥ 0 222 10 axxaxx   ∴ f(x)的定义域是 ),1(2  ax。 （ 2）若 a=2，则 )2(lo g)( 2 xxxf  设4121 xx ， 则 0]1)(2)[()()(2)2()2( 212121212211  xxxxxxxxxxxx )()( 21 xfxf  故 f(x)为增函数。 第 14 页 共 29 页 （ 3）设 1121221  xaxaaxx 则 0]1)()[()()()()( 212121212211  xxaxxxxxxaxaxxax 2211 xaxxax  ① ∵ f(x)是增函数， ∴ f(x1)＞ f(x2) 即 )(lo g)(lo g 2211 xaxxax aa  ② 联立①、②知 a＞ 1， ∴ a∈ (1， +∞ )。 点评： 该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可。 题型 9：课标创新题 例 17． 对于在区间  nm, 上有意义的两个函数 f(x)与 g(x)，如果对任意的 x  nm, ，均有 1)()(  xgxf ，则称 f(x)与 g(x)在  nm, 上是接近的，否则称 f(x)与 g(x)在  nm, 上是非接近的，现有两个函数 )3(lo g)(1 axxf a  与 )1,0(1log)(2  aaaxxf a，给定区间  3,2  aa。 （ 1）若 )(1xf 与 )(2 xf 在给定区间  3,2  aa 上都有意义，求 a 的取值范围； （ 2）讨论 )(1xf 与 )(2 xf 在给定区间  3,2  aa 上是否是接近的。 解：（ 1）两个函数 )3(lo g)(1 axxf a  与 )1,0(1log)(2  aaaxxf a在给定区间  3,2  aa 有意义，因为函数 axy 3 给定区间  3,2  aa 上单调递增，函数在axy  1给定区间  3,2  aa 上恒为正数， 故有意义 当且仅当 1003)2(10aaaaa ； （ 2）构造函数 )3)((l o g)()()( 21 axaxxfxfxF a  ， 第 15 页 共 29 页 对于函数 )3)(( axaxt  来讲， 显然其在 ]2,( a 上单调递减，在 ),2[ a 上单调递增。 且 ty alog 在其定义域内一定是减函数。 由于 10 a ，得 2220  aa 所以原函数在区间 ]3,2[  aa 内单调递减，只需保证    1|)23(3log||)3(| 1|)1(4log||)2(| aaF aaFaa aaaaa1)23(31)1(4 当125790  a时， )(1xf 与 )(2 xf 在区间  3,2  aa 上是接近的； 当12579a时， )(1xf 与 )(2 xf 在区间  3,2  aa 上是非接近的。 点评： 该题属于信息给予的题目，考生首先理解“接近”与“非接近”的含义，再对含有对数式的函数的是否“接近”进行研究，转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即可。 例 18．设 1x ， 1y ，且 2 log 2 log 3 0xyyx  ，求 224T x y 的最小值。 解：令 logxty ， ∵ 1x ， 1y ，∴ 0t。 由 2 log 2 log 3 0xyyx  得 22 3 0tt  ，∴ 22 3 2 0tt   ， ∴ (2 1)( 2) 0tt  ，∵ 0t ，∴ 12t，即 1log2x y，∴ 12yx ， ∴ 2 2 2 24 4 ( 2) 4T x y x x x      ， 第 16 页 共 29 页 ∵ 1x ，∴当 2x 时， min 4T 。 点评：对数函数结合不等式知识处理最值问题，这是出题的一个亮点。 同时考察了学生的变形能力。 五．思维总结 1． bNNaaN abn  lo g, （其中 1,0,0  aaN ）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算 .在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底； 2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆 项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验； 3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识； 4．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的 12 个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析； 5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“ 底”大于 1 或小于 1 分类； 6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力。 普通高中课程标准实验教科书 — 数学 [人教版 ] 高三新 数学 第一轮复习教案（讲座 3） — 函数的基本性质 一．课标要求 1． 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义； 2． 结合具体函数，了解奇偶性的含义 ； 二．命题走向 从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索。 预测 20xx 年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。 预测明年的对本讲的考察是： （ 1）考察函数性质的选择题 1 个或 1 个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题； （ 2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度第 17 页 共 29 页 考察函数性质预计成为新的热点。 三．要点精讲 1．奇偶性 （ 1）定义：如果对于函 数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(－ x)=－ f(x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(－ x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性 .如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则－ x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （ 2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定 f(－ x)与 f(x)的关系； ○ 3 作出相应结论： 若 f(－ x) = f(x) 或 f(－ x)－ f(x) = 0，则 f(x)是偶函数； 若 f(－ x) =－ f(x) 或 f(－ x)＋ f(x) = 0，则 f(x)是奇函数。 （ 3）简单性质： ①图象的对称 性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称； ② 设 ()fx， ()gx 的定义域分别是 12,DD，那么在它们的公共定义域上： 奇 +奇 =奇，奇 奇 =偶，偶 +偶 =偶，偶 偶 =偶，奇 偶 =奇 2．单调性 （ 1）定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内的某个区间D 内的任意两个自变量 x1， x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)（ f(x1)f(x2)），那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（减函数）； 注意： ○ 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○ 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2；当 x1x2时，总有 f(x1)f(x2) （ 2）如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 （ 3）设复合函数 y= f[g(x)]，其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定义域的某个区间， B 是映射 g : x→ u=g(x) 的象集： ①若 u=g(x) 在 A 上是增（或减）函数， y= f(u)在 B 上也是增（或减）函数，则函数y= f[g(x)]在 A 上是增函数； ②若 u=g(x)在 A 上是增（或减）函数，而 y= f(u)在 B 上是减（或增）函数，则函数y= f[g(x)]在 A 上是减函数。 （ 4）判断函数单调性的方法步骤 第 18 页 共 29 页 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤： ○ 1 任取 x1， x2∈ D，且 x1x2； ○ 2 作差 f(x1)－ f(x2)； ○ 3 变形（通常是因式分解和配方）； ○ 4 定号（即判断差 f(x1)－ f(x2)的正负）； ○ 5 下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性）。 （ 5）简单性质 ①奇函数 在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内： 增函数 )(xf 增函数 )(xg 是增函数； 减函数 )(xf 减函数 )(xg 是减函数； 增函数 )(xf 减函数 )(xg 是增函数； 减函数 )(xf 增函数 )(xg 是减函数。 3．最值 （ 1）定义： 最大值：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：①对于任意的x∈ I，都有 f(x)≤ M；②存在 x0∈ I，使得 f(x0) = M。 那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 最小值：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：①对于任意的x∈ I，都有 f(x)≥ M；②存在 x0∈ I，使得 f(x0) = M。 那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 注意： ○ 1 函数最大（小）首先应该是某 一个函数值，即存在 x0∈ I，使得 f(x0) = M； ○ 2 函数最大（小）应该是所有函数值。