数学运算之牛吃草问题专题（国考）

数学运算之牛吃草问题专题（国考）内容摘要：

数学运算之牛吃草问题专题（国考） 数学运算之牛吃草问题专题牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是 17 世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。 典型牛吃草问题 的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。 由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。 解决牛吃草问题重点是要想办法从变化中找到不变量。 牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在 变化，但由于是匀速生 长 ，所以每天新 长出的草量应该是不变的。 这类问题常用到四个基本公式，分别是：（1）草的生长速度（对应的牛头数×吃的较多天数相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数吃的较少天数）；（2）原有草量牛头数×吃的天数草的生长速度×吃的天数；（3）吃的天数原有草量÷（牛头数草的生长速度）；（4）牛头数原有草量÷吃的天数草的生长速度。 这四个公式是解决牛吃草问题的基础。 一般设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解 题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。 核心公式： 草场草量（牛数每天长草量）×天数基本不变量：单位面积牧场上原有草量不变， 一般用来列方程每头牛每天吃草量不变， 一般设为“1”单位面积牧场上每天新增草量不变，一般设为“x”【例 1】一片牧草，可供 16 头牛吃 20 天，也可以供 20 头牛吃 12 天，那么 25 头牛几天可以吃完。 解法 1：原的生长速度=（16× 202）÷（2010 牛/天原有草量=16× 200=120 牛吃的天数=120÷ （258 天解法 2：设该牧场每天长草量恰可供 x 头牛吃一天，这片草场可供 25 头牛吃 n 天。 根据核心公式：(1620（20x）×12（25x）×n（16x）×20（20x）×12 ，得 x10，代入得 n8【例 2】有一块牧场，可供 10 头牛吃 20 天， 15 头牛吃 10 天， 则它可供多少头牛吃 4 天。 案】C【解析】设该牧场每天长草量恰可供 x 头牛吃一天，这片草场可供 n 头牛吃 4 天根据核心公式：（10x）×20（15x）×10 （nx）×4（10x）×20（15x）×10 ，得 x5，代入得 n30【例 3】如果 22 头牛吃 33 公亩牧场的草，54 天后可以吃尽，17 头牛吃 28 公亩牧场的草，84 天可以吃尽，那么要在 24 天内吃尽 40 公亩牧场的草，需要多少 头牛。 案】D【解析】设每公亩牧场每天新长出来的草可供 x 头牛吃 1 天，每公亩草场原有牧草量为 y，24 天内吃尽 40 公亩牧场的草，需要 n 头牛根据核心公式：33y（2233x）×54，得 y（23x）×1836541728x）×84，得 y（1728x）×35184 x1/2 ，y9，因此，40×9（n20）×24，得 n35，选择 D【注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。 【例 4】由于天气逐渐冷起来，牧场可上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。 已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或供 15 头牛吃 6 天。 照此 计算，可供多少头牛吃 10 天。 【解析】设该牧场每天减草量恰可供 X 头牛吃一天，这片牧场可攻 N 头牛吃 10天。 根据核心公式：（20+X）*5=（15+X）*6=（N+X ）*10得 X=10，N=5.【例 5】一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。 先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。 如果同时打开 2 个出水管，那么 8 分钟后水池空；如果同时打开 3 个出水管，那么 5 分钟后水池空。 那么出水管比进水管晚开多少分钟。 【解析】假设晚开 N 分钟，则(28=(35=X*=1/3 N=40 分钟【例 6】物美超市的收银台平均每小时有 60 名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付 80 名顾客付款。 某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始 4 小时就没有顾客排除了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了【浙江 2006】时 时 时 时【答案】D【解析】设共需 n 小时就无人排队了，（8060）×4（80×260）×x，解得 x 7】某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。 从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开 4 个检票口需 30 分钟，同时开 5 个检票口需 20 分钟。 如果同时打开 7 个检票口，那么需多少分钟。 【解析】等候检票的旅客人数在变化， “旅客”相当于“草” ，“检票口” 相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。 (4X)*30=(520=（7n n=12【例 8】有三块草地，面积分别为 5，6 和 8 公顷。 草地上的草一样厚，而且长得一样快。 第一块草地可供 11 头牛吃 10 天，第二 块草地可供 12 头牛吃 14 天。 问：第三块草地可供 19 头牛吃多少天。 【解析】假设每公顷草地恰可供 X 头牛吃 1 天，每公顷草地原有的草量为 Y,8 公顷草地可供 19 头牛吃 N 天5Y=（11106Y=（1214得：X=78Y=（19N N=8 天。