数学运算之数的整除性专题（国考）

数学运算之数的整除性专题（国考）内容摘要：

数学运算之数的整除性专题（国考） 数学运算之数的整除性专题1、数的整除性质：(1)对称性：若甲数能被乙数整除，乙数也能被甲数整除，那么甲、乙两数相等。 (2)传递性：若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。 (2) 若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能该自然数整除。 (3) 几个数相乘，若其中有一个因子能被某一个数整除，那么它们的积也能被该数整除。 (4) 若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能分别被这两个互质数的积整除。 (5) 若一个数能被两个互质数的积整除，那么，这个数也能分别被这两个互质数整除。 (6) 若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么 这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。 2、数的整除特征：一个数要想被另一个数整除，该数需含有对方所具有的质数因子。 (1)1 与 0 的特性： 1 是任何整数的约数，0 是任何非零整数的倍数。 (2)若一个整数的末位是 0、2、4、6 或 8，则这个数能被 2 整除。 (3)若一个整数的数字和能被 3（9）整除，则这个整数能被 3（9）整除。 (4) 若一个整数的末尾两位数能被 4（25）整除，则这个数能被 4（25）整除。 (5)若一个整数的末位是 0 或 5，则这个数能被 5 整除。 (6)若一个整数能被 2 和 3 整除，则这个数能被 6 整除。 (7)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 2 倍，如果差是7 的倍数，则原数能被 7 整除。 (8)若一个整数的末尾三位数能被 8（125）整除，则这个数能被 8（125）整除。 (9)若一个整数的末位是 0，则这个数能被 10 整除。 (10)若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被 11 整除，则这个数能被 11 整除。 （不够减时依次加 11 直至够减为止）。 11 的倍数检验法也可用上述检查 7 的(割尾法) 处理，过程唯一不同的是：倍数不是 2 而是 1。 (11)若一个整数能被 3 和 4 整除，则这个数能被 12 整除。 (12)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的 4 倍，如果差是 13 的倍数，则原数能被 13 整除。 一个三位以上的整数能否被 7（11 或 13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被 7（11 或13）整除。 另法：将一个多位数从后往前三位一组进行分段。 奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差若被 7（11 或 13）整除，则原多位数也被 7（11 或 13）整除。 (13)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 5 倍，如果差是 17 的倍数，则原数能被 17 整除。 (14)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的 2 倍，如果差是 19 的倍数，则原数能被 19 整除。 (15)若一个整数的末三位与 3 倍的前面的隔出数的差能被 17 整除，则这个数能被 17 整除。 (16)若一个整数的末三位与 7 倍的前面的隔出数的差能被 19 整除，则这个数能被 19 整除。 (17)若一个整数的末四位与前面 5 倍的隔出数的差能被 23(或 29)整除，则这个数能被 23 整除。 例题 1.(2007 年中央第 60 题)有一食品店某天购进了 6 箱食品，分别装着饼干和面包，重量分别为8、9、16、20、22、27 公斤。 该店当天只卖出一箱面包，在剩下的 5 箱中饼干的重量是面包的两倍，则当天食品店购进了( )公斤面包。 析】本题是整除运算题目。 由题意可知， 6 箱食品共重 102 公斤， 设卖出的一箱面包为 x 公斤，又由于剩下的 5 箱中饼干的重量是面包的两倍，所以(102x)应是 3 的倍数，并且(102 x)÷3 应是其余 5 箱中一箱的重量或几箱重量的和。 只有当 x27 时符合条件，此时共有面包 27(10227)÷352 公斤。 故选 D。 例题 2.(2006 年中央( 一类)第 50 题，(二类)第 34 题)一个三位数除以 9 余 7，除以 5 余 2，除以 4 余 3，这样的三位数共有( )。 【解析】本题要运用整除运算。 根据“除以 5 余 2”，可知该数的尾数为 2 或 7；而根据“除以 4 余 3”，可知其尾数只能为 7，根据“除以 9 余 7”，该数可以表示为9x7，其中 x 的范围为 11 至 110；其中尾数为 7 的有 9y7，其中 y 的范围为 20至 110，经检验可知，当 y 为 30、50、70、90、110 时，该三位数仍不能符合“ 除以4 余 3”的条件，即只有当 y 为 20、40、60、80、100 时 ，该三位数才满足三个条件，因此共有 5 个三位数。 故选 A。 例题 3：求一个首位数字为 5 的最小六位数，使这个数能被 9 整除，且各位数字均不相同。 分析：由于要求被 9 整除，可只考虑数字和，又由于要求最小的，故从第二位起 应尽量用最小的数字排，并试验末位数字为哪个数时，六位数为 9 的倍数。 【解析】一个以 5 为首位数的六位数，要想使它最小，只可能是 501234（各位数字均不相同）。 但是 501234 的数字和 5+0+1+2+3+4=15，并不是 9 的倍数，故只能将末位数字改为 7，这时， 5+0+1+2+3+7=18 是 9 的倍数，故 501237 是 9 的倍数。 即 501237 是以 5 为首位，且是 9 的倍数的最小六位数。 例题 4：从 0、1、2、4、7 五个数中选出三个组成三位数，其中能被 3 整除的有 几个。 【解析】三位数的数字和字和应被 3 整除，所以可取的三个数字分别是：0,1,2； 0,2,4; 0,2,7; 1,4,7。 于是有：（2*2*1）*3+3*2*1=18个例题 5：某个七位数 1993能够同时被 2、3、4、5、6、7、8、9 整除，那么它的最后三字依次是多少。 【解析】这个七位数能被 2、3、4、5、6、7、8、9 整除，所以能被 2、3、4、5、6、7、8、9 的最小公倍数整除。 这个最小公倍数是 5*6*7*8*9=2520。 1993000/2520=790.20所以最后三位数依次是 3、2、0。 例题 6：十个连续的自然数，其中的奇数之和为 85，在这 10 个连续的自然数中，是 3 的倍数的数字之和最大是多少。 析】奇数之和为 85，则这个 5 个奇数为 13、15、17、19、21，由此可知这十个最大为 13 3 的倍数为：12、 15、18、21。