本科生--求极限的方法(编辑修改稿)

本科生--求极限的方法(编辑修改稿)内容摘要：

法直接用四则运算，应先化简原函数 原式 =43 842lim 23 232   xx xxxx=)4()2( )2(4)2(lim 22322  xxxxxxx =   )1)(2)(2( )2)(2)(2(lim2 xxx xxxx 34)1( )2(lim2  xxx， 对要求的函数进行适当变形和化简 ,常用的变形或化简有：分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换 . 6 利用两个重要极限求函数的极限 灵活运用 两个重要的极限 : 0sinlim 1xxx  1lim 1 xx ex ， 对所求的函数进行适当变形 ,将其变为与两个重要极限的形式相同 ,再 求解 . 例 6（ 1） 求 xx xn sincos1lim . 解 xx xn sincos1lim0 = xx xn sin2sin2lim 20 = 2)22sin(limxxon  21sinxx 2111  =21 . 当极限形式中含有三角函数时 ， 一般可通过三角公式恒等变换，然后利用重要极限0sinlim 1xxx 来求解 . 例 6（ 2） 求xlim bxnnxaxaxaxa )1( 33221  ， Nn . 解 当 0b 时，xlim 033221 )1( nnxaxaxaxa  =1, 当 0b 时，此极限为 1 型，且 xlim bxxaxaxaxa nn )1( 33221  =bxlim )( 123211  n nxaxaxaxa = ba1 , limx bxnnxaxaxaxa )1( 33221  = bae1 ， Nn . 对于这类求极限的题目，可以通过配系数法、变量替换，来转换成 1 型极限 ， 函数中含有幂指函数时 ， 往往出现这种情形 ， 这时可通过变换化成 xx)11( 或xx1)1(  的形式，再利用重要极限求解 . 7 利用等价无穷小量代替求极限 例 7 求30 tan sinlim sinx xxx . 解 由于 sinta n sin (1 c o s )c o s xx x xx   , 0x 时 ， xx~sin , 2~cos1 2xx ， 33 ~sin xx , 故有 30 tan sinlim sinx xxx =230112limco s 2xxxxx. 在利用等价无穷小量求极限时应注意 ， 只有对所求函数式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替换 ,而对于极限式中的相加或相减的部分则不能随便替换 . 如在上题中 , 若用 tan ( 0)x x x, sin ( 0)x x x, 而推出 30 tan sinlim sinx xxx =30lim 0sinx xxx  ,则得到的是错误的结果 . 8 利用洛必达法则求极限 洛 必达法则是以导数为工具研究不定式极限 ,只能对 00 型 和  型的不定式极限 直接使用 , 其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则 .利用这种方法求解既简单又有效 ,但并不是任何比式极限都可以按洛必达法则来求解 ,需注意其条件极其繁琐程度 . 对无穷小（大）进行降价处理，使得过未定式一步步的转化，最终分子或是分母中至少有一个不再是无穷小（大），这时就可以直接用极限的四则运算法则求 出结果 .[4] 例 8(1) 求 21 coslim tanx xx . 解 令   1 cosf x x ,   2tang x x ,易知 fx、 gx在点 0x  的领域内满足    00lim lim 0xxf x g x,且在 0x 的空心邻域 )( 00 xU 内两者都可导 ,则   39。 32 39。 21 c o s s in c o s 1l im l im l im l imta n 2 ta n s e c 2 2x x x xfxx x xx g x x x          ， 当用洛必达求解极限不存在时 ,不能说明原函数极限不存在 . 例 8(2) 求极限 sinlimxxxx . 解 sinlimxxxx = sinlim 1 1xxx, 但 用洛必达法则时 : s in 1 c o slim lim 1xxx x xx   ,极限不存在 . 9 利用级数收敛的必要条件求极限 利用级数收敛的必要条件： 若级数 1n nu收敛 lim 0nn u ,利用该条件 ,可以求极限 ,而且利用此条件可以判断级数的敛散性 .对于级数收敛性有这样的一个 推广 定理：设数列 { nx }，对 n=1,2, ,及某一自然数 p，满足： pnnn xcxcy  21 ， 21 cc  ， 则： Aynn 。