高中数学空间中的夹角和距离考点分析(编辑修改稿)

高中数学空间中的夹角和距离考点分析(编辑修改稿)内容摘要：

aCD a   ， ∴ 13P D E N D E N P N E PV V S D Q    21 5 234 5aa316a。 点评： 求角和距离的基本步骤是作、证、算。 此外还要特别注意融合在运算中的推理过程，推理是运算的基础，运算只是推理过程的延续。 如求二面角，只有根据推理过程找到二面角后，进行简单的运算，才能求出。 因此，求角与距离的关键还是直线与平面的位置关系的论证。 五．思维总结 空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 第 11 页 共 24 页 1． 空间 的 角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念， 由 它们的定义， 可得其 取值范围 ，如两异面直线所成的角 θ∈ (0，2)，直线与平面所 成的角 θ∈ 0,2，二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角 θ∈ (0，π )。 对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力． （ 1）求异面直线所成的角，一般是平移转化法。 方法一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊点 ”，作另一条直线的平行线；或过空间任一点分别作两异面直线的平行线，这样就作出了两异面直线所成的角θ，构造一个含θ的三角形，解三角形即可。 方法二是补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ。 （ 2）求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点（斜足），然后在直线上取一点（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平面内的射影），最后解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。 （ 3）求二面角，一般有直接法和间接法两种。 所谓直接法求二面角， 就是作出二面角的平面角来解。 其中有棱二面角作平面角的方法通常有：①根据定义作二面角的平面角；②垂面法作二面角的平面角；③利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角；无棱二面角先作出棱后同上进行。 间接法主要是投影法：即在一个平面α上的图形面积为 S，它在另一个平面β上的投影面积为 S′，这两个平面的夹角为θ，则 S′ =Scosθ。 如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角 － l－ 的平面角（记作 ）通常有以下几种方法： (1) 根据定义； (2) 过棱 l上任一点 O 作棱 l 的垂面 ，设 ∩ ＝ OA， ∩ ＝ OB，则∠ AOB＝ (图 1)； (3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面 内一点 A，分别作另一个平面 的垂线AB(垂足为 B),或棱 l 的垂线 AC(垂足为 C)，连结 AC，则∠ ACB＝  或∠ ACB＝ － (图2)； (4) 设 A 为平面 外任一点， AB⊥ ，垂足为 B， AC⊥ ，垂足为 C，则∠ BAC＝ 或∠ BAC＝ － (图 3)； (5) 利用面积射影定理，设平面 内的平面图形 F 的面积为 S， F 在平面 内的射影图形的面积为 S，则 cos＝SS39。 . 图 1 图 2 图 3 2．空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离． 求距离的一般方法和步骤是：一作 —— 作出表示距离的线段；二证 —— 证明它就是A BO β γβAB C βCAB βAB CβAB C第 12 页 共 24 页 所要求的距离；三算 —— 计算其值．此外，我们还常用体积法求点到平面的距离． 求空间中线面的夹角或距离需注意 以下几点： ①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置 . ②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理 . ③求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视 .二面角的平角的常用作法有三种： 根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线 .解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线；作棱的垂面。 作二面角的平面角应把握先找后作的原则 .此外在解答题 中一般不用公式“ cosθ ＝SS”求二面角否则要适当扣分。 ④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质 .而间接法中常用的是等积法及转移法 . ⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离 求距离的关键是化归。 即空间距离与角向平面距离与角化归，各种具体方法如下： （ 1）求空间中两点间的距离，一般转化为解 直角三角形或斜三角形。 （ 2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法。 普通高中课程标准实验教科书 — 数学 [人教版 ] 高三新 数学 第一轮复习教案（讲座 11） — 空间中的垂直关系 一．课标要求： 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。 通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理： ◆ 一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 ◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。 通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明： ◆ 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 二．命题走向 近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点。 在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识 上，实现平面到空间的转化，示第 13 页 共 24 页 知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。 预测 2020 年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系： （ 1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题； （ 2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。 （ 3）解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点。 三．要点精讲 1．线线垂直 判断线线垂直的方法： 所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。 三垂线定理 ： 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。 推理模式： ,PO OPA A a AOa a AP    。 注意： ⑴ 三垂线指 PA， PO， AO都垂直 α 内的直线 a 奎屯王新敞 新疆 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 奎屯王新敞 新疆 ⑵ 要考虑 a的位置，并注意两定理交替使用。 2．线面垂直 定义： 如果一条直线 l 和一个平面 α 相交，并且和平面 α内的任意一条直线都垂直， 我 们就说直线 l和平面 α 互相垂直奎屯王新敞 新疆其中直线 l 叫做平面的垂线，平面 α 叫做直线 l的垂面 ,直线与平面的 交点叫做垂足。 直线 l 与平面 α 垂直记作： l⊥ α。 直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 直线和平面垂直的性质定理 ： 如果两条直线同垂直于一个平面 ,那 么 这两条直线平行。 3．面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理：（线面垂直  面面垂直） 如果一个平面经 过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 两平面垂直的性质定理：（面面垂直  线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。 四．典例解析 题型 1：线线垂直问题 例 1． 如图 1 所示，已知正方体 ABCD— A1B1C1D1 中， E、 F、 G、 H、 L、 M、 N 分别为 A1D1， A1B1， BC， CD， DA， DE， CL 的中点，求证： EF⊥ GF。 aPOA第 14 页 共 24 页 证明： 如图 2，作 GQ⊥ B1C1 于 Q，连接 FQ，则 GQ⊥平面 A1B1C1D1，且 Q 为 B1C1的中点。 在正方形 A1B1C1D1 中，由 E、 F、 Q 分别为 A1D A1B B1C1 的中点可证明 EF⊥ FQ，由三垂线定理得 EF⊥ GF。 点评：以垂直为背景，加强空间想象能力的考查，体现了立体几何从考查、论证思想。 例 2．（ 2020全国Ⅱ， 19）如图，在直三棱柱 ABC－ A1B1C1中， AB＝ BC， D、 E 分别为 BB AC1的中点，证明： ED 为异面。