圆锥曲线20xx年理科高考解答题荟萃(编辑修改稿)

圆锥曲线20xx年理科高考解答题荟萃(编辑修改稿)内容摘要：

的轨迹 E 的方程为 2212 25xybb. (2) 证明 在 2212 25xybb中令 0y 得 222xb ,则不妨设 2 0 2 0B b D b（ ， ） ， （ ， ）, 于是直线 QB 的方程为 : 11( 2 )2yy x bxb , 直线 QD 的方程为 : 11( 2 )2yy x bxb , 则 11112 2020 2b y b yMNx b x b（ ， ） ， （ ， ）, 则以 MN 为直径的圆的方程为 : 2 11112202 2b y b yx y yx b x b  （ ） （ ）, 令 0y 得 : 222 112 2byx xb  ,而 11,Qx y（ ） 在 2212 25xybb上 ,则 2 2 21122 25x b y , 于是 5xb ,即以 MN 为直径的圆过两定点 ( 5 ,0), (5 ,0)bb . 8.(2020 湖北卷理 )过抛物线 2 2 ( 0)y px p的对 称轴上一点   ,0 0A a a  的直线与抛物线相交于 M、 N 两点，自 M、 N 向直线 :l x a 作垂线，垂足分别为 1M 、 1N。 （Ⅰ）当 2pa 时，求证： 1AM ⊥ 1AN ； （Ⅱ）记 1AMM 、 11AMN 、 1ANN 的面积分别为 1S 、 2S 、 3S ，是否存在  ，使得对任意的 0a ，都有 22 1 2S SS 成立。 若存在，求出  的值；若不存在，说明理由。 解 依题意，可设直线 MN 的方程为 1 1 2 2, ( , ) , ( , )x m y a M x y N x y ， 则有 12( , ), ( , )M a y N a y 由2 2x my ay px  ，消去 x 可得 2 2 2 0y mpy ap   从而有 121222y y mpy y ap  ① 于是 21 2 1 2( ) 2 2 ( )x x m y y a m p a      ② 又由 2112y px ， 2122y px 可得 2 2 21212 22() ( 2 )44yy apx x app   ③ （ Ⅰ）如图 1，当 2pa 时，点 ( ,0)2pA 即为抛物线的焦点， l 为其准线 2px 此时1 1 1 2( , ) , ( , ) ,22PPM y N y 并 由 ①可得 212y y p 证法 1： 1 1 1 2( , ) , ( , )A M p y A N p y   uuuuv uuuvQ 2 2 21 1 1 2 1 10,A M A N p y y p p A M A N       u u u uv u u u v 即 证法 2：1112,A M A NyyKKpp   Q 112121122 1,A M A N yy pK K A M A Npp       即 . (Ⅱ )存在 4 ，使得对任意的 0a ，都有 22 1 34S SS 成立，证明如下： 证法 1：记直线 l 与 x轴的交点为 1A ,则 1OA OA a。 于是有 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 23 1 1 1 2 211 )221211 )22S M M A M x a yS M N AA a y yS N N A N x a y            （（ 2 1 3 1 2 1 1 2 22 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 24 ( ) ( ) ( )[ ( ) 4 ] [ ( ) ]S S S a y y x a y x a ya y y y y x x a x x a y y              将①、②、③代入上式化简可得 2 2 2 2 2 2 2( 4 8 ) 2 ( 2 4 ) 4 ( 2 )a m p a p a p a m p a a p m p a     上式恒成立，即对任意 22 1 30, 4a S S S成立 证法 2：如图 2，连接 11,MN NM ,则由 21 2 1 12 , 2y y a p y p x  可得 11 2 2 21 1 1 2222 2O M O Ny p y p y ypKKx y y y a p a     ,所以直线 1MN 经过原点 O， 同理可证直线 1NM 也经过原点 O 又 1OA OA a设 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2, , , ,M A h N A h M M d NN d   则 1 1 1 2 1 2 1 2 3 2 21 1 1, 2 ( ) ( ) , .2 2 2S d h S a h h a h h S d h       9.（ 2020全国卷Ⅱ理） 已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab   的离心率为 33 ，过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点，当 l 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 l 的距离为 22 （ I）求 a ， b 的值； （ II） C 上是否存在点 P，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，有 OP OA OB成立。 若存在，求出所有的 P 的坐标与 l 的方程；若不存在，说明理由。 解 (I）设 ( ,0)Fc ，直线 :0l x y c   ，由坐标原点 O 到 l 的距离为 22 则 | 0 0 | 222 c ，解得 1c .又 3 , 3 , 23ce a ba    . （ II）由 (I）知椭圆的方程为 22:132xyC .设 11( , )Ax y 、 B 22( , )xy 由题意知 l 的斜率为一定不为 0，故不妨设 :1l x my 代入椭圆的方程中整理得 22( 2 3 ) 4 4 0m y m y   ，显然 0。 由韦达定理有：12 24 ,23myy m   12 24 ,23yy m ．．．．．．．．① .假设存在点 P，使 OP OA OB成立，则其充要条件为： 点 1 2 1 2P ( , )x x y y的 坐 标 为 ，点 P 在椭圆上，即 221 2 1 2( ) ( ) 132x x y y。 整理得 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 22 3 2 3 4 6 6x y x y x x y y     。 又 AB、 在椭圆上，即 2 2 2 21 1 2 22 3 6 , 2 3 6x y x y   . 故 1 2 1 22 3 3 0x x y y  ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ② 将 21 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( ) 1x x m y m y m y y m y y      及①代入②解得 2 12m 12 22yy   或, 12xx = 224322 3 2mm  ,即 32( , )22P  . 当 2 3 2 2, ( , ) , : 12 2 2 2m P l x y   时。 当 2 3 2 2, ( , ) , : 12 2 2 2m P l x y    时 . 10.（ 2020福建卷理） 已知 A,B 分别为曲线 C： 22xa+ 2y =1（ y 0,a0）与 x 轴的左、右两个交点，直线 l 过点 B,且与 x 轴垂直， S 为 l 上 异于点 B的一点，连结 AS交曲线 C于点 T.(1)若曲线 C为半圆，点 T 为圆弧 AB 的三等分点，试求出点 S 的坐标；（ II）如图，点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点，试问：是否存在 a ,使得 O,M,S 三点共线。 若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由。 解 方 法一 (Ⅰ )当曲线 C 为半圆时， 1,a 如图，由点 T 为圆 弧 AB 的三等分点得∠ BOT=60176。 或 120176。 . (1)当∠ BOT=60176。 时 , ∠ SAE=30176。 . 又 AB=2,故在△ SAE 中 ,有 ta n 3 0 , ( , )。 S B A B s t   。