高考数学空间夹角和距离(编辑修改稿)

高考数学空间夹角和距离(编辑修改稿)内容摘要：

255( 2 ) ( 2 ) 1  。 题型 5：点面距离 例 9．如图，已知ＡＢＣＤ为边长是４的正方形，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，ＧＣ 垂直于ＡＢＣＤ所在的平面，且ＧＣ＝２，求点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离。 解 法 一 ： 连 结 Ｂ Ｆ ， Ｂ Ｇ ，2222121  FABES B E F ， 又Ｅ，Ｆ分别是 ＡＢ，Ａ Ｄ的中点，,43,2221 ACCHBDEF  2222 24432  CHGCGH 22。 112222221  G E FS ， hhV E F GB 113211231  ， 2231 BEFGV ， 11112h ． 解法二． Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点， ＥＦ／／ＢＤ， Ｂ到平面ＧＥＦＡ Ｂ Ｃ Ｄ Ｇ ＥＥ OＥ ＦＥ Ｏ Ｈ 第 12 页 共 25 页 的距离为ＢＤ上任一 点到平面ＧＥＦ的距离，ＢＤ  ＡＣ于Ｏ，ＥＦ／／ＢＤ， ,ACEF  又ＧＣ  平面ＡＢＣＤ，ＥＦ  平面ＡＢＣＤ， ＥＦ  ＧＣ，ＥＦ 平面ＧＥＦ， 平面ＧＥＦ  平面ＧＣＨ，过Ｏ点作 OO ＨＧ，则 OO 平面ＧＥＦ， OO 为Ｏ到平面ＧＣＨ的距离，即Ｂ到平面ＧＥＦ的距离。 241  ACOH 由 解 法 一 知 ： 22GH ，由 OHO ∽ HCG 得 11112,  OOGCOOGHOH。 思维点拔 ： 注意点距，线面距，面面距的转化，利用平面互相垂直作距离也是一种常用的方法。 例 10．（ 1）（ 06 安徽 ） 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点 A 在平面  内，其余顶点在  的同侧，正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到  的距离分别为 1， 2 和 4， P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则 P 到平面  的距离可能是： ______（写出所有正确结论的 编号 ． ． ） ① 3； ② 4； ③ 5； ④ 6； ⑤ 7 （ 2） 平行四边形的一个顶点 A 在平面  内，其余顶点在  的同侧，已知其中有两个顶点到  的距离分别为 1 和 2 ，那么剩下的一个顶点到平面  的距离可能是：① 1； ② 2； ③ 3； ④ 4； 以上结论正确的为 ______________。 （写出所有正确结论的 编号 ． ． ） 解析：（ 1） 如图， B、 D、 A1到平面  的距离分别为 4，则 D、 A1的中点到平面 的距离为 3，所以 D1到平面  的距离为 6； B、 A1的中点到平面  的距离为 52 ，所以B1到平面  的距离为 5；则 D、 B 的中点到平面  的距离为 32，所以 C 到平面  的距离为 3； C、 A1的中点到平面 的距离为 72 ，所以 C1到平面  的距离为 7；而 P为 C、C B D1中的一点，所以选①③④⑤。 （ 2）如图， B、 D 到平面  的距离为 2，则 D、 B的中点到平面  的距离为 32，所以 C 到平面  的距离为3； B、 C 到平面  的距离为 2， D 到平面  的距离为 x ，则 1 2 2 1xx   或 ，即1x ，所以 D 到平面  的距离为 1； C、 D 到平面  的距离为 2，同理可得 B 到平面  的距离为 1；所以选①③。 题型 6：线面距离 A B C D A1 第 13 页 共 25 页 A C B P E F 图 7 例 11．已知正三棱柱 111 CBAABC  的底面边长为8，对角线 101 CB ， D 是 AC 的中点。 （ 1）求点 1B 到直线 AC 的距离。 （ 2）求直线 1AB 到平面 BDC1 的距离。 解析：（ 1）连结 BD， DB1 ，由三垂线定理可得： ACDB 1 ，所以 DB1 就是 1B 点到直线 AC 的距离。 在 BDBRt 1 中 ,6810 222211  BCCBBB 34BD ． 2122121  BBBDDB。 （ 2）因为 AC 与平面 BD 1C 交于ＡＣ的中点Ｄ，设 EBCCB  11 ，则 1AB //DE，所以 1AB //平面 BDC1 ，所以 1AB 到平面 BD 1C 的距离等于Ａ点到平面 BD 1C 的距离，等于Ｃ点到平面 BD 1C 的距离，也就等于三棱锥 1BDCC 的高。 B D CCB D CC VV   11 ， 13131 1 CCShS B D CB D C   ， 131312h 所以，直 线 1AB到平面 BD 1C 的距离是 131312。 思维点拔：求空间距离多用转化的思想。 例 12． 如图 7，已知边长为 42的正三角形 ABC 中，E 、 F 分别为 BC 和 AC 的中点， PA 面 ABC ，且 2PA ，设平面  过 PF 且与 AE 平行。 求 AE 与平面  间的距离。 分析：设 AP 、 AE 、 EC 的单位向量分别为 1e 、 2e 、3e ，选取 { 1e ， 2e ， 3e }作为空间向量的一组基底。 易知 1 2 1 3 2 3 0e e e e e e     ， B A C D 1A 1B 1C 第 14 页 共 25 页 1 2 32 , 2 6 , 2 2 ,A P e A E e E C e   PF PA AF = 12PA AC = 1 ()2PA AE EC= 1 2 32 6 2e e e   ， 设 1 2 3n xe ye e   是平面  的一个法向量，则 ,n AE n PF， 00n AEn PF  ，即222 2 21 2 32 6 02 6 2 0yex e y e e    022yx ， 132 .2n e e   直线 AE 与平面  间的距 离 d Apnn =1 1 3221322 ( )2 23 .322e e eee 五．思维总结 1．这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何知识（特别是余弦定理）熟练解题。 特别注意 :空间 各种角的计算都要转化为同一平面上来，这里要特别注意平面角的探求 ； 2．把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。 求角的三个基本步骤： “作 ”、 “证 ”、 “算 ”。 3． 求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点： ①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置； ②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理； ③求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视 .二面角的平角的常用作法有三种： 根据定义或图形特征作；根据三垂线定理（或其逆定理）作，难点在于找到面的垂线。 解决办法，先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理 即可找到面的垂线；作棱的垂面。 作二面角的平面角应把握先找后作的原则。 此外在解答题中一般不用公式“ cosθ ＝SS ”求二面角否则要适当扣分。 ④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质。 而间接法中常用的第 15 页 共 25 页 是等积法及转移法； ⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离。 4．注意数学中的转化思想的运用 （ 1）常用等角定理或平行移动直线及平面的方法转化所求角的位置； （ 2）常用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所求距离的位置； （ 3）常用割补法或等积（等面积或等体积）变换解决有关距离及体积问题。 普通高中课程标准实验教科书 — 数学 [人教版 ] 高三新 数学 第一轮复习教案（讲座 36） — 空间向量及其应用 一．课标要求： （ 1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程 ； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 ； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 ； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （ 2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量 ； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系 ； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理） ； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二．命题走向 本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。 本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式 为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测 07 年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 三．要点精讲 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向 线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而第 16 页 共 25 页 空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 baABOAOB   baOBOABA   )( RaOP   加法交换率。