高考数学数列概念及等差数列复习资料(编辑修改稿)

高考数学数列概念及等差数列复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

121k ）［ 1+1)1(2 1 k］＞ 12 k （ 1+ 121k ） = 12 12kk （ 2k+2）。 第 11 页 共 26 页 ∵［ 12 12kk （ 2k+2）］ 2－（ 32 k ） 2 ＝ 012 112 )384(484 22   kk kkkk ， ∴ .1)1(232)22(12 12  kkkk k . 因而 .1)1(2)12 11)(12 11()311)(11(  kkk 这就是说①式当 n=k+1 时也成立 . 由（ i），（ ii）知①式对任何正整数 n 都成立 . 由此证得： Sn＞ 21 lgbn+1。 评述：本题主要考查等差数列的求和公式的求解和应用，对一些综合性的问题要先理清思路再行求解。 题型 7：等差数列的性质及变形公式 例 13．（ 1）（ 20xx 上海春， 16）设｛ an｝（ n∈ N*）是等差数列， Sn 是其前 n 项的和，且 S5＜ S6， S6＝ S7＞ S8，则下列结论 错误 ． ． 的是（ ） ＜ 0 B. a7＝ 0 ＞ S5 与 S7 均为 Sn 的最大值 （ 2）（ 1994 全国理， 12）等差数列 {an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（ ） 解析：（ 1）答案： C； 由 S5S6 得 a1+a2+a3+„ +a5a1+a2+„ +a5+a6，∴ a60， 又 S6=S7，∴ a1+a2+„ +a6=a1+a2+„ +a6+a7，∴ a7=0， 由 S7S8，得 a80，而 C 选项 S9S5，即 a6+a7+a8+a90 2（ a7+a8） 0， 由题设 a7=0， a80，显然 C 选项是错误的。 （ 2）答案： C 解法一：由题意得方程组1 002 )12(22302 )1(11dmmmadmmma， 第 12 页 共 26 页 视 m 为已知数，解得212 )2(10,40 mmamd ， ∴ 210402 )13(3)2(1032 )13(3322113  mmmmmmdmmamaS m。 解法二：设前 m 项的和为 b1，第 m+1 到 2m 项之和为 b2，第 2m+1 到 3m 项之和为b3，则 b1， b2， b3 也成等差数列。 于是 b1=30， b2=100－ 30=70，公差 d=70－ 30=40。 ∴ b3=b2+d=70+40=110 ∴前 3m 项之和 S3m=b1+b2+b3=210. 解法三：取 m=1，则 a1=S1=30， a2=S2－ S1=70，从而 d=a2－ a1=40。 于是 a3=a2+d=70+40=110.∴ S3=a1+a2+a3=210。 点评：本题考查等差数列的基本知识，及灵活运用等差数列解决问题的能力，解法二中是利用构造新数列研究问题，等比数列也有类似性质 .解法三中，从题给选择支获得的信息可知，对任意变化的自然数 m，题给数列前 3m 项的和是与 m 无关的不变量，在含有某种变 化过程的数学问题，利用不变量的思想求解，立竿见影。 例 14．（ 20xx 上海， 21）在 XOY 平面上有一点列 P1（ a1， b1）， P2（ a2， b2），„，Pn（ an， bn），„，对每个自然数 n，点 Pn 位于函数 y=20xx（ 10a ） x（ 0＜ a＜ 10＝的图象上，且点 Pn、点（ n， 0）与点（ n+1， 0）构成一个以 Pn 为顶点的等腰三角形。 （Ⅰ）求点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式； （Ⅱ）若对每个自然数 n，以 bn， bn＋ 1， bn＋ 2 为边长能构成一个三角形，求 a 的取值范围； （Ⅲ）（理）设 Bn＝ b1， b2„ bn（ n∈ N） .若 a 取（Ⅱ）中确定的范围内的最小整数，求数列｛ Bn｝的最大项的项数。 （文）设 ＝ lg（ bn）（ n∈ N） .若 a 取（Ⅱ）中确定的范围内的最小整数，问数列｛ ｝前多少项的和最大 ?试说明理由。 解析： .解：（Ⅰ）由题意， an＝ n＋ 21 ，∴ bn＝ 20xx（ 10a ） 21n。 （Ⅱ）∵函数 y=20xx（ 10a ） x（ 0＜ a＜ 10）递减， ∴对每个自然数 n，有 bn＞ bn＋ 1＞ bn＋ 2 则以 bn， bn＋ 1， bn＋ 2 为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn＋ 2＋ bn＋ 1＞ bn， 第 13 页 共 26 页 即（ 10a ） 2＋（ 10a － 1）＞ 0， 解得 a＜－ 5（ 1＋ 5 ）或 a＞ 5（ 5 － 1）， ∴ 5（ 5 － 1）＜ a＜ 10． （Ⅲ）（理）∵ 5（ 5 － 1）＜ a＜ 10， ∴ a=7， bn＝ 20xx（ 107 ） 21n。 数列｛ bn｝是一个递减的正数数列 .对每个自然数 n≥ 2， Bn＝ bnBn－ 1。 于是当 bn≥ 1 时， Bn≥ Bn－ 1，当 bn＜ 1 时， Bn＜ Bn－ 1， 因此，数列｛ Bn｝的最大项的项数 n 满足不等式 bn≥ 1 且 bn＋ 1＜ 1。 由 bn＝ 20xx（ 107 ） 21n ≥ 1，得 n≤ ，∴ n=20。 （文）∵ 5（ 5 － 1）＜ a＜ 10，∴ a=7， bn＝ 20xx（ 107 ） 21n。 于是 ＝ lg［ 20xx（ 107 ） 21n ］＝ 3＋ lg2（ n＋ 21 ） 数列｛ ｝是一个递减的等差数列 . 因此，当且仅当 ≥ 0，且 ＋ 1＜ 0 时，数列｛ ｝的前 n 项的和最大。 由 ＝ 3＋ lg2＋（ n＋ 21 ） lg0． 7≥ 0， 得 n≤ ，∴ n=20。 点评：本题主要考查函数的解析式，函数的性质，解不等式，等差、等比数列的有关知识，及等价转化，数形结合等数学思想方法 . 五．思维总结 1． 数列的知识要点： （ 1）数列是特殊的函数，数列是定义在自然数集 N（或它的有限子集｛ 1， 2， 3，„，n，„｝）上的函数 f（ n），当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值： f（ 1）， f（ 2），f（ 3），„， f（ n），„。 数列的图象是由一群孤立 的点构成的。 （ 2）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察第 14 页 共 26 页 数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式；③一个数列还可以用递推公式来表示；④在数列｛ an｝中，前 n 项和 Sn 与通项公式 an 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。 即 an＝   )2()1(11 nSS nSnn。 特别要注意的是，若 a1 适合由 an＝ Sn－ Sn－ 1（ n≥ 2）可得到的表达式，则 an 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。 2．等差数列的知识要点： （ 1）等差数列定义 an＋ 1－ an＝ d（常数）（ n N），这是证明一个数列是等差数列的依据，要防止仅由前若干项，如 a3－ a2＝ a2－ a1＝ d（常数）就说｛ an｝是等差数列这样的错误，判断一个数列是否是等差数列。 还可由 an＋ an＋ 2＝ 2 an＋ 1 即 an＋ 2－ an＋ 1＝ an＋1－ an 来判断。 （ 2） 等差数列的通项为 an＝ a1＋（ n－ 1） d．可整理成 an＝ an＋（ a1－ d），当 d≠ 0时， an 是关于 n 的一次式，它的图象是一条直线上，那么 n 为自然数的点的集合。 （ 3）对于 A 是 a、 b 的等差中项，可以表示成 2 A＝ a＋ b。 （ 4）等差数列的前 n 项和公式 Sn＝21 naa n－ na1＋2 )1( nnd，可以整理成 Sn＝2dn2＋ nda )2( 1。 当 d≠ 0 时是 n 的一 个常数项为 0 的二次式。 （ 5） 等差数列的判定方法： ①定义法：对于数列 na ，若 daa nn 1 (常数 )，则数列 na 是等差数列； ②等差中项：对于数列 na ，若 212   nnn aaa ，则数列 na 是等差数列。 3．等差数列的性质： （ 1）在等差数列 na 中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （ 2）在等差数列 na 中，相隔等距离的项组成的数列是 AP ， 如： 1a ， 3a ， 5a ，7a ，„„； 3a ， 8a ， 13a ， 18a ，„„； （ 3 ）在等差数列 na 中，对任意 m ， nN ， ()nma a n m d   ，nmaad nm  ()mn ； （ 4 ）在等差数列 na 中，若 m ， n ， p ， qN 且 m n p q   ，则m n p qa a a a   ； 5． 说明：设数列 {}na 是等差数列 ，且公差为 d ，（ Ⅰ ）若项数为偶数，设共有 2n 项，则 ① S 奇  S 偶 nd ； ② 1nnS aSa奇偶； （ Ⅱ ）若项数为奇数，设共有 21n 项，则 ① S第 15 页 共 26 页 偶  S 奇 naa中 ； ②1S nSn 奇偶。 6．（ 1） 1 0a ， 0d 时， nS 有最大值； 1 0a ， 0d 时， nS 有最小值；（ 2） nS最值的求法： ① 若已知 nS ，可用二次函数最值的求法（ nN ）； ② 若已知 na ，则 nS 最值时 n 的值（ nN ）可如下确定100nnaa 或100nnaa 。 普通高中课程标准实验教科书 — 数学 [人教版 ] 高三新 数学 第一轮复习教案（讲座 27） — 正、余弦定理及应用 一．课标要求： （ 1） 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 ； （ 2） 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何 计算有关的实际问题。 二．命题走向 对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。 今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。 题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题。 三．要点精讲 1． 直角三角形中各元素间的关系： 如图，在△ ABC 中， C＝ 90176。 ， AB＝ c， AC＝ b，BC＝ a。 （ 1）三边之间的关系： a2＋ b2＝ c2。 （勾股定理） （ 2）锐角之间的关系： A＋ B＝ 90176。 ； （ 3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sinA＝ cosB＝ca， cosA＝ sinB＝cb， tanA＝ba。 2．斜三角形中各元素间的关系： 如图 629，在△ ABC 中， A、 B、 C 为其内角， a、 b、 c 分别表示 A、 B、 C 的对边。 （ 1）三角形内角和： A＋ B＋ C＝ π。 （ 2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 RCcBbAa 2s ins ins in 。 （ R 为外接圆半径） （ 3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 a2＝ b2＋ c2－ 2bccosA； b2。