高考数学曲线方程及圆锥曲线的综合问题(编辑修改稿)

高考数学曲线方程及圆锥曲线的综合问题(编辑修改稿)内容摘要：

x－ 3),其中 k≠0. 当 y2=2x 得 ky2－ 2y－ 6k=0,则 y1y2=－ 6. y=k(x－ 3) 又 ∵ x1=21y21 , x2=21y22 , ∴ OBOA =x1x2+y1y2=21221 )(41 yyyy =3. 综上所述 , 命题 “如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OBOA =3”是真命题 . 第 15 页 共 35 页 ② 逆命题是：设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、 B 两点 ,如果 OBOA =3,那么该直线过点 T(3,0).该命题是假命题 . 例如：取抛物线上的点 A(2,2),B(21,1),此时 OBOA =3, 直线 AB 的方程为 Y=32(X+1),而 T(3,0)不在直线 AB 上 . 点评 ：由抛物线 y2=2x 上的点 A(x1,y1)、 B(x12,y2)满足 OBOA =3,可得 y1y2=－ 6。 或y1y2=2， 如果 y1y2=－ 6， 可证得直线 AB 过点 (3,0)；如果 y1y2=2, 可证得直线 AB 过点 (－1,0),而不过点 (3,0)。 例 6．（ 1）（ 06 北京文， 19） 椭圆 C: 22 1( 0 )xy abab   的两个焦点为 F1,F2,点 P在椭圆 C 上，且1 1 2 1 24 1 4, | | , | | .33P F F F P F P F   （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）若直线 l 过圆 x2+y2+4x2y=0 的圆心，交椭圆 C 于 ,AB两点，且 A、 B 关于点M 对称，求直线 l 的方程。 （ 2）（ 06 江苏， 17） 已知三点 P（ 5， 2）、 1F （－ 6， 0）、 2F （ 6， 0）。 （Ⅰ）求以 1F 、 2F 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程； （Ⅱ）设点 P、 1F 、 2F 关于直线 y＝ x 的对称点分别为 P 、 39。 1F 、 39。 2F ，求以 39。 1F 、 39。 2F为焦点且过点 P 的双曲线的标准方程。 解析：（ 1） 解法一： (Ⅰ )因为点 P 在椭圆 C 上，所以 62 21  PFPFa ，a=3. 在 Rt△ PF1F2 中， ,52212221  PFPFFF故椭圆的半焦距 c= 5 ，从而 b2=a2－ c2=4，所以椭圆 C 的方程为 49 22 yx  ＝ 1。 (Ⅱ )设 A， B 的坐标分别为（ x1,y1）、（ x2,y2）。 O 第 16 页 共 35 页 已知圆的方程为（ x+2） 2+(y－ 1)2=5,所以圆心 M 的坐标为（ － 2， 1） . 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得 （ 4+9k2） x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－ 27=0. 因为 A， B 关于点 M 对称 . 所以 .294 9182 2221   k kkxx 解得98k， 所以直线 l 的方程为 ,1)2(98  xy 即 8x9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意 ) 解法二： (Ⅰ )同解法一 . (Ⅱ )已知圆的方程为（ x+2） 2+(y－ 1)2=5,所以圆心 M 的坐标为（ － 2， 1） . 设 A， B 的坐标分别为（ x1,y1） ,(x2,y2).由题意 x1 x2 且 ,1492121  yx ① ,1492222  yx ② 由① － ②得： .04 ))((9 ))(( 21212121  yyyyxxxx ③ 因为 A、 B 关于点 M 对称，所以 x1+ x2=－ 4， y1+ y2=2。 代入③得2121 xx yy  ＝ 98 ，即直线 l 的斜率为 98 ，所以直线 l 的方程为 y－ 1＝ 98 （ x+2）， 即 8x－ 9y+25=0。 (经检验，所求直线方程符合题意 .) （ 2 ） ①由题意可设所求椭圆的标准方程为 221xyab(ab0),其半焦距c=6, 2 2 2 2122 1 1 2 1 2 6 5a P F P F      ∴ 35a ,b2=a2c2=9。 第 17 页 共 35 页 所以所求椭圆的标准方程为 22145 9xy ② 点 P(5,2)、 F1(6,0)、 F2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为点 P， (2， 5)、 F1， (0， 6)、F2， (0， 6)。 设所求双曲线的标准方程为 22112211 1( 0 , 0 )xy abab   。 由题意知，半焦距 c1=6， 2 2 2 21 1 22 1 1 2 1 2 4 5a P F P F      。 1 25a  ,b12=c12a12=3620=16. 所以所求双曲线的标准方程为 22120 16xy。 点评： 本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。 题型 4：知识交汇题 例 7．（ 06 辽宁 ,20） 已知点 11( , )Ax y , 22( , )Bx y 12( 0)xx 是抛物线 2 2 ( 0)y px p上的两个动点 , O 是坐标原点 ,向量 OA ,OB 满足 O A O B O A O B  .设圆 C 的方程为 22 1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y      (I) 证明线段 AB 是圆 C 的直径。 (II)当圆 C 的圆心到直线 X2Y=0 的距离的最小值为 255时，求 p 的值。 解析： (I)证明 1: 22, ( ) ( )O A O B O A O B O A O B O A O B       2 2 2 222O A O A O B O B O A O A O B O B       整理得 : 0OA OB 1 2 1 2 0x x y y     设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点 ,则 0MA MB 即 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0x x x x y y y y      第 18 页 共 35 页 整理得 : 22 1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y      故线段 AB 是圆 C 的直径 证明 2: 22, ( ) ( )O A O B O A O B O A O B O A O B       2 2 2 222O A O A O B O B O A O A O B O B       整理得 : 0OA OB 1 2 1 2 0x x y y    …… ..(1) 设 (x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则 即 21121 ( , )y y y y x x x xx x x x     去分母得 : 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0x x x x y y y y      点 1 1 1 2 2 1 2 2( , ) , ( , ) , ( , ) ( , )x y x y x y x y满足上方程 ,展开并将 (1)代入得 : 22 1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y      故线段 AB 是圆 C 的直径 证明 3: 22, ( ) ( )O A O B O A O B O A O B O A O B       2 2 2 222O A O A O B O B O A O A O B O B       整理得 : 0OA OB 1 2 1 2 0x x y y    …… (1) 以线段 AB 为直径的圆的方程为 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 21( ) ( ) [ ( ) ( ) ]2 2 4x x y yx y x x y y       展开并将 (1)代入得 : 22 1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y      故线段 AB 是圆 C 的直径 (II)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则 第 19 页 共 35 页 121222xxxyyy   221 1 2 22 , 2 ( 0 )y p x y p x p   221212 24yyxx p 又因 1 2 1 2 0x x y y    1 2 1 2x x y y     221212 24yyyy p   1 2 1 20 , 0x x y y     212 4y y p   2 2 2 21 2 1 21 2 1 2 1 211( ) ( 2 )2 4 4 4x x y yx y y y y y yp p p       221 ( 2 )ypp 所以圆心的轨迹方程为 222y px p 设圆心 C 到直线 x2y=0 的距离为 d,则 22 221| ( 2 ) 2 || 2 | | 2 2 |5 5 5y p yx y y py ppd p     22| ( ) |5y p pp 第 20 页 共 35 页 当 y=p 时 ,d 有最小值5p,由题设得 2555p  2p. 解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则 121222xxxyyy   221 1 2 22 , 2 ( 0 )y p x y p x p   221212 24yyxx p 又因 1 2 1 2 0x x y y    1 2 1 2x x y y     221212 24yyyy p   1 2 1 20 , 0x x y y     212 4y y p   2 2 2 21 2 1 21 2 1 2 1 211( ) ( 2 )2 4 4 4x x y yx y y y y y yp p p       221 ( 2 )ypp 所以圆心的轨迹方程为 222y px p 设直线 x2y+m=0 到直线 x2y=0 的距离为 255 ,则 2m 第 21 页 共 35 页 因为 x2y+2=0 与 222y px p 无公共点 , 所以当 x2y2=0 与 222y px p 仅有一个公共点时 ,该点到直线 x2y=0 的距离最小值为255 222 2 0 (2 )2 (3)xyy p x p    将 (2)代入 (3)得 222 2 2 0y p y p p    224 4( 2 2 ) 0p p p       解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则 121222xxxyyy   圆心 C 到 直线 x2y=0 的距离为 d,则 12 12| ( ) |25xx yyd  221 1 2 22 , 2 ( 0 )y p x y p x p   221212 24yyxx p 又因 1 2 1 2 0x x y y    1 2 1 2x x y y     第 22 页 共 35 页 221212 24yyyy p   1 2 1 20 , 0x x y y     212 4y y p   221 2 1 2 2 2 21 2 1 2 1 21| ( ) ( ) || 2 4 ( ) 8 |45 4 5y y y y y y y y p y y ppd p          2212( 2 ) 445y y p pp   当 122y y p 时 ,d 有最小值5p,由题设得 2555p  2p. 点评：本小题考查了平面向量的基本运算 ,圆与抛物线的方程 .点到直线的距离公式等基础知识 ,。