高中数学集合与函数考点分析(编辑修改稿)

高中数学集合与函数考点分析(编辑修改稿)内容摘要：

xxxx  32 , 令       23 23 213 21 112121 2 xxxx =L ， 10 L ， |||)2()2(| 2121 xxLxx   所以 Ax )( 反证法：设存在两个 0000 ),2,1(, xxxx  使得 )2( 00 xx  , )2( 00 xx  。 则由 |||)2()2(| /00/00 xxLxx   ， 得 |||| /00/00 xxLxx  ，所以 1L ，矛盾，故结论成立。 121223 )2()2( xxLxxxx   ， 所以 1211 xxLxx nnn         ||1|| 1211211 xxLLxxxxxxxx kkkpkpkpkpkkpk    kkpkpkpkpk xxxxxx   1211   123122 xxLxxL pkpk   +„ 121 xxLk  1211 xxLLK  。 点评：函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖。 第 12 页 共 27 页 五．思维总结 集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。 1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如 、、  、 、 =、 SC A、∪，∩等等； 2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用 Venn 图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“ Venn 图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）； 3．确定集 合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。 ① 区别∈与 、 与  、 a 与 {a}、φ与 {φ }、 {(1,2)}与 {1,2}； ② A B 时， A 有两种情况： A＝φ与 A≠φ。 ③若集合 A 中有 n )( Nn 个元素，则集合 A 的所有不同的子集个数为 n2 ，所有真子集的个数是 n2 － 1, 所有非空真子集的个数是 22n。 ④区分集合中元素的形式 ： 如 }12|{ 2  xxyxA ； }12|{ 2  xxyyB ； }12|),{( 2  xxyyxC ； }12|{ 2  xxxxD ； },12|),{( 2 ZyZxxxyyxE  ； }12|)39。 ,{( 2  xxyyxF ； },12|{ 2 xyzxxyzG 。 ⑤空集是指不含任何元素的集合。 }0{ 、  和 }{ 的区别； 0 与三者间的关系。 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 条件为 BA ，在讨论的时候不要遗忘了 A 的情况。 ⑥ 符号“ , ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“ ,216。 ”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线 (面 )的关系。 逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，第 13 页 共 27 页 是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力。 《新课标》高三数学（人教版）第一轮复习单元讲座 第二讲 函数概念与表示 一．课标要求 1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之 间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念； 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数； 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用； 4．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义； 5．学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 二．命题走向 函数是整个高中数学的 重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例。 从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。 高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大。 预测 20xx 年高考对本节的考察是： 1．题型是 1 个选择和一个 填空； 2．热点是函数概念及函数的工具作用，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为新的热点。 三．要点精讲 1． 函数的概念： 设 A、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f： A→ B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。 记作： y=f(x)， x∈ A。 其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)| x∈ A }叫做函数的值域。 注意：（ 1）“ y=f(x)”是函数符号，可 以用任意的字母表示，如“ y=g(x)”； （ 2）函数符号“ y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值，一个数，而不是 f 乘 x。 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 （ 1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式： 第 14 页 共 27 页 ①自然型：指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）； ②限制型：指命题的条件或人为对自变量 x 的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误 ； ③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量 x 的实际意义。 （ 2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。 ①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。 3．两个函数的相等： 函数的定义含有三个要素，即定义域 A、值域 C 和对应法则 f。 当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。 因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。 4．区间 （ 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （ 2）无穷区间； （ 3）区间的数轴表示。 5．映射的概念 一般地，设 A、 B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。 记作“ f： A B”。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。 注意：（ 1）这两个集合有先后顺序， A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的．其中 f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。 （ 2）“都有唯一”什么意思。 包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。 6． 常用的函数表示法 （ 1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的 解析表达式，简称解析式 ； （ 2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系 ； （ 3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。 7．分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数； 8．复合函数 第 15 页 共 27 页 若 y=f(u)， u=g(x),x(a， b)， u(m,n)，那么 y=f[g(x)]称为复合函数， u 称为中间变量，它的取值范围是 g(x)的值域。 四．典例解析 题型 1：函数概念 例 1．（ 1） 设函数 ).89(,)100()]5([ )100(3)( fxxff xxxf 求   （ 2）（ 20xx 上 海理， 1）设函数 f（ x）＝  ),1(,log ]1,(,281 xxx ，则满足 f（ x） =41 的x 值为。 解：（ 1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换， )))101((())))104(((()))99((())94(()89( fffffffffffff  = )99())1 0 2(()97())1 0 0(()))1 0 3((())98(( fffffffffff  = .98)101())104((  fff （ 2）当 x∈（－∞， 1] ，值域应为［ 21 ，＋∞］， 当 x∈（ 1，＋∞）时值域应为（ 0，＋∞）， ∴ y＝ 41 ， y∈（ 0，＋∞）， ∴此时 x∈（ 1，＋∞）， ∴ log81x＝41， x＝ 8141 ＝ 3。 点评：讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧（赋值、变量代换、换元等等），这都是函数学习的常用基本功。 变式题：（ 20xx 山东 文 2）设 1232 , 2( ) ( ( 2 ) )l o g ( 1 ) 2 .xexf x f fxx  ＜ ， 则 的 值 为，（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 解：选项为 C。 例 2．（ 20xx 安徽 文理 15） （ 1） 函数 fx对于任意实数 x 满足条件    12fxfx，若  1 5,f  则第 16 页 共 27 页   5ff  __ ________； （ 2） 函数 fx对于任意实数 x 满足条件    12fxfx，若  1 5,f  则  5ff  __________。 解：（ 1）由    12fxfx得    14 ( )2f x f xfx  ， 所以 (5) (1) 5ff  ，则    115 ( 5 ) ( 1 )( 1 2 ) 5f f f f f      。 （ 2）由    12fxfx得    14 ( )2f x f xfx  ，所以 (5) (1) 5ff  ，则    115 (。