高中数学函数图像及其特征考点分析(编辑修改稿)

高中数学函数图像及其特征考点分析(编辑修改稿)内容摘要：

n=lg(bn)(n∈ N*),若 a 取 (2)中确定的范围内的最小整数，问数列 {Cn}前多少项的和最大。 试说明理由。 解： (1)由题意知： an=n+21,∴ bn=20xx(10a) 21n。 (2)∵函数 y=20xx(10a)x(0a10)递减， ∴对每个自然数 n,有 bnbn+1bn+2。 则以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn+2+bn+1bn， 即 (10a)2+(10a)－ 10， 解得 a－ 5(1+ 2 )或 a5( 5 － 1)。 ∴ 5( 5 － 1)a10。 第 13 页 共 31 页 (3)∵ 5( 5 － 1)a10，∴ a=7 ∴ bn=20xx(107) 21n。 数列 {bn}是一个递减的正数数列， 对每个自然数 n≥ 2,Bn=bnBn－ 1。 于是当 bn≥ 1 时， BnBn－ 1，当 bn1 时， Bn≤ Bn－ 1， 因此数列 {Bn}的最大项的项数 n 满足不等式 bn≥ 1 且 bn+11， 由 bn=20xx(107) 21n ≥ 1 得： n≤ 20。 ∴ n=20。 点评：本题题设从函数图像入手，体现数形结合的优越性，最终还是根据 函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。 例 16． 已知函数 1,0)((l o g)(  aaxaxxf a 为常数） （ 1）求函数 f(x)的定义域； （ 2）若 a=2，试根据单调性定义确定函数 f(x)的单调性。 （ 3）若函数 y=f(x)是增函数，求 a 的取值范围。 解： （ 1）由 axxxax  得0 ∵ a＞ 0， x≥ 0 222 10 axxaxx   ∴ f(x)的定义域是 ),1(2  ax。 （ 2）若 a=2，则 )2(lo g)( 2 xxxf  设4121 xx ， 则 0]1)(2)[()()(2)2()2( 212121212211  xxxxxxxxxxxx )()( 21 xfxf  故 f(x)为增函数。 第 14 页 共 31 页 （ 3）设 1121221  xaxaaxx 则 0]1)()[()()()()( 212121212211  xxaxxxxxxaxaxxax 2211 xaxxax  ① ∵ f(x)是增函数， ∴ f(x1)＞ f(x2) 即 )(lo g)(lo g 2211 xaxxax aa  ② 联立①、②知 a＞ 1， ∴ a∈ (1， +∞ )。 点评： 该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可。 题型 9：课标创新题 例 17． 对于在区间  nm, 上有意义的两个函数 f(x)与 g(x)，如果对任意的 x  nm, ，均有 1)()(  xgxf ，则称 f(x)与 g(x)在  nm, 上是接近的，否则称 f(x)与 g(x)在  nm, 上是非接近的，现有两个函数 )3(lo g)(1 axxf a  与 )1,0(1log)(2  aaaxxf a，给定区间  3,2  aa。 （ 1）若 )(1xf 与 )(2 xf 在给定区间  3,2  aa 上都有意义，求 a 的取值范围； （ 2）讨论 )(1xf 与 )(2 xf 在给定区间  3,2  aa 上是否是接近的。 解：（ 1）两个函数 )3(lo g)(1 axxf a  与 )1,0(1log)(2  aaaxxf a在给定区间  3,2  aa 有意义，因为函数 axy 3 给定区间  3,2  aa 上单调递增，函数在axy  1给定区间  3,2  aa 上恒为正数， 故有意义 当且仅当 1003)2(10aaaaa ； （ 2）构造函数 )3)((l o g)()()( 21 axaxxfxfxF a  ， 第 15 页 共 31 页 对于函数 )3)(( axaxt  来讲， 显然其在 ]2,( a 上单调递减，在 ),2[ a 上单调递增。 且 ty alog 在其定义域内一定是减函数。 由于 10 a ，得 2220  aa 所以原函数在区间 ]3,2[  aa 内单调递减，只需保证    1|)23(3log||)3(| 1|)1(4log||)2(| aaF aaFaa aaaaa1)23(31)1(4 当125790  a时， )(1xf 与 )(2 xf 在区间  3,2  aa 上是接近的； 当12579a时， )(1xf 与 )(2 xf 在区间  3,2  aa 上是非接近的。 点评： 该题属于信息给予的题目，考生首先理解“接近”与“非接近”的含义，再对含有对数式的函数的是否“接近”进行研究，转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即可。 例 18．设 1x ， 1y ，且 2 log 2 log 3 0xyyx  ，求 224T x y 的最小值。 解：令 logxty ， ∵ 1x ， 1y ，∴ 0t。 由 2 log 2 log 3 0xyyx  得 22 3 0tt  ，∴ 22 3 2 0tt   ， ∴ (2 1)( 2) 0tt  ，∵ 0t ，∴ 12t，即 1log2x y，∴ 12yx ， ∴ 2 2 2 24 4 ( 2) 4T x y x x x      ， 第 16 页 共 31 页 ∵ 1x ，∴当 2x 时， min 4T 。 点评：对数函数结合不等式知识处理最值问题，这是出题的一个亮点。 同时考察了学生的变形能力。 五．思维总结 1． bNNaaN abn  lo g, （其中 1,0,0  aaN ）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算 .在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底； 2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆 项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验； 3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识； 4．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的 12 个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析； 5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“ 底”大于 1 或小于 1 分类； 6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力。 普通高中课程标准实验教科书 — 数学 [人教版 ] 高三新 数学 第一轮复习教案（讲座 5） — 函数图象及数字特征 一．课标要求： 1．掌握基本初等函数的图象的画法及性质。 如正比例函数、反比例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等； 2．掌握各种图象变换规则，如：平移变换、对称变换 、翻折变换、伸缩变换等； 3．识图与作图：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。 甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性问题； 4． 通过实例，了解幂函数的概念；结合函数 21132 , xyxyxyxyxy  的图像，了解它们的变化情况。 二．命题走向 函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数知识占有极其重要的地位。 其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、第 17 页 共 31 页 分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力。 知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地。 从历年高考形势来看： （ 1）与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力， 会利用函数图象，进一步研究函 数的性质，解决方程、不等式中的问题 ； （ 2）函数综合问题多以知识交汇题为主，甚至以抽象函数为原型来考察； （ 3）与幂函数有关的问题主要以 21132 , xyxyxyxyxy  为主，利用它们的图象及性质解决实际问题； 预测 07 年高考函数图象：（ 1）题型为 1 到 2 个填空选择题；（ 2）题目多从由解析式得函数图象、数形结合解决问题等方面出题； 函数综合问题：（ 1）题型为 1 个大题；（ 2）题目多以知识交汇题目为主，重在考察函数的工具作用； 幂函数：单独出题的可能性很小，但一些具体问题甚至是一些大题的小过程要应用其 性质来解决； 三．要点精讲 1．函数图象 （ 1）作图方法： 以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本 讲座 的重点。 作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/要把表列在关键处，要把线连在恰当处新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。 而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换 ， 这也是个难点。 （ 2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等 ； ①平移变换： Ⅰ、水平平移：函数 ()y f x a的图像可以把函数 ()y f x 的图像沿 x 轴方向向左 ( 0)a 或向右 ( 0)a 平移 ||a 个单位即可得到 ； 1） y=f(x) h左移 y=f(x+h)； 2） y=f(x) h右移 y=f(xh)； Ⅱ 、竖直平移：函数 ()y f x a的图像可以把函数 ()y f x 的图像沿 x 轴方向向第 18 页 共 31 页 上 ( 0)a 或向下 ( 0)a 平移 ||a 个单位即可得到 ； 1） y=f(x) h上移 y=f(x)+h； 2） y=f(x) h下移 y=f(x)h新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/。 ②对称变换： Ⅰ、函数 ()y f x的图像可以将函数 ()y f x 的图像关于 y 轴对称即可得到 ； y=f(x) 轴y y=f(x) Ⅱ、函数 ()y f x 的 图像可以将函数 ()y f x 的图像关于 x 轴对称即可得到 ；。