高中数学函数概念与基本性质考点分析(编辑修改稿)

高中数学函数概念与基本性质考点分析(编辑修改稿)内容摘要：

中 c )(  c 是该物体初次清洗后的清洁度。 (Ⅰ )分别求出方案甲以及 c 时 方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少； (Ⅱ )若采用 方案乙 , 当 a 为某固定值时 , 如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小 ? 并讨论 a 取不同数值时对最少 总用水量多少的影响。 解： (Ⅰ )设方案甲与方案乙的用水量分别为 x 与 z。 由题设有 1xx=，解得 x=19。 由  得方案乙初次用水量为 3, 第二次用水量 y 满足方程 : ,yaya 解得 y=4a ,故 z=4a + 两种方案 的用水量分别为 19 与 4a +3。 因为当 1 3 , 4 ( 4 ) 0 ,a x z a x z      时 即,故 方案乙的用水量较少。 第 13 页 共 29 页 （ II）设初次与第二次清洗的用水量分别为 x 与 y ，类似（ I）得 545(1 )cx c  ， (99 100 )y a c（ *） 于是 545(1 )cxy c + (99 100 )ac 1 1 0 0 (1 ) 15 (1 ) a c ac     当 a 为定值时 , 12 1 0 0 ( 1 ) 1 4 5 15 ( 1 )x y a c a a ac         , 当且仅当 1 1 0 0 (1 )5 (1 ) acc 时等号 成立。 此时 111 ( ) 1 ( 0 . 8 , 0 . 9 9 ) ,1 0 5 1 0 5ccaa    不 合 题 意 , 舍 去 或 将 1110 5c a代入 （ *）式得 2 5 1 1 , 2 5 .x a a y a a      故 1110 5c a时 总用水量最少 , 此时 第一次与第二次 用水量 分别为 2 5 1 2 5a a a与 ， 最少总用水量是 ( ) 4 5 1T a a a   。 当 39。 251 3 , ( ) 1 0a T aa    时, 故 T(a )是增函数 (也可以用二次函数的单调性判断 )。 这说明 ,随着 a 的值的最少总用水量 , 最少总用水量最少总用水量。 点评： 本题贴近生活。 要求考生读懂题目，迅速准确建立数 学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决。 该题典型代表高考的方向。 题型 7：课标创新题 例 10．（ 1） 设 dcxbxaxxxf  234)( ，其中 a、 b、 c、 d 是常数。 如果 ,30)3(,20)2(,10)1(  fff 求 的值)6()10(  ff ； （ 2）若不等式 )1(12 2  xmx 对满足 22  m 的所有 m 都成立，求 x 的取值范围。 第 14 页 共 29 页 解：（ 1）构造函数 ,10)()( xxfxg  则 ,0)3()2()1(  ggg 故： .810460)6)(36)(26)(16(100 )10)(310)(210)(110()6()10(   r mff （ 2）原不等式可化为 .0)12()1( 2  xmx 构造函数 )22)(12()1()( 2  mxmxmf ，其图象是一条线段。 根据题意，只须： ,0)12()1(2)2(,0)12()1(2)2(22xxfxxf 即    .0122 ,032222xxxx 解得 2 312 71  x。 点评：上面两个题目通过重新构造函数解决了实际问题，体现了函数的工具作用。 五．思维总结 “函数”是数学中最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本内容与方法。 由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的 x 的取值范围新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练。 1． 求函数解析式的题型有： （ 1） 已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法 ； （ 2） 已知 ()fx求 [ ( )]f g x 或已知 [ ( )]f g x 求 ()fx：换元法、配凑法 ； （ 3）已知函数图像，求函数解析式； （ 4） ()fx满足某个等式，这个等式除 ()fx外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法 ； （ 5）应用题求函数解析式常用方法有 待定系数法等。 2． 求函数定义域一般有三类问题： （ 1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合； （ 2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义； （ 3）已知 ()fx的定义域求 [ ( )]f g x 的定义域或已知 [ ( )]f g x 的定义域求 ()fx的定义域 ： 第 15 页 共 29 页 ① 掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域； ②若已知 ()fx的定义域  ,ab ，其复合函数  ()f g x 的定义域应由 ()a g x b解出。 3． 求函数值域的各种方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。 其类型依解析式的特点分可分三类： (1)求常见函数值域； (2)求由常见函数复合而成的函数的值域； (3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。 ①直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R； 反比例函数 )0(  kxky的定义域为 {x|x 0}，值域为 {y|y 0}； 二次函数 )0()( 2  acbxaxxf 的定义域为 R， 当 a0 时，值域为 {a bacyy 4 )4(| 2}； 当 a0 时，值域为 {a bacyy 4 )4(| 2}。 ②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：),(,)( 2 nmxcbxaxxf  的形式； ③分式转化法（或改为“分离常数法”） ④换元法：通过变 量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： )0(  kxkxy，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 普通高中课程标准实验教科书 — 数学 [人教版 ] 高三新 数学 第一轮复习教案（讲座 3） — 函数的基本性质 一．课标要求 1． 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（ 小）值及其几何意义； 2． 结合具体函数，了解奇偶性的含义 ； 第 16 页 共 29 页 二．命题走向 从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索。 预测 20xx 年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。 预测明年的对本讲的考察是： （ 1）考察函数性质的选择题 1 个或 1 个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题； （ 2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函 数性质预计成为新的热点。 三．要点精讲 1．奇偶性 （ 1）定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(－ x)=－ f(x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(－ x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性 .如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数 的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则－ x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （ 2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定 f(－ x)与 f(x)的关系； ○ 3 作出相应结论： 若 f(－ x) = f(x) 或 f(－ x)－ f(x) = 0，则 f(x)是偶函数； 若 f(－ x) =－ f(x) 或 f(－ x)＋ f(x) = 0，则 f(x)是奇函数。 （ 3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称； ② 设 ()fx， ()gx 的定义域分别是 12,DD，那么在它们的公共定义域上： 奇 +奇 =奇，奇  奇 =偶，偶 +偶 =偶，偶  偶 =偶，奇  偶 =奇 2．单调性 （ 1）定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内的某个区间D 内的任意两个自变量 x1， x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)（ f(x1)f(x2)），那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（减函数）； 注意： ○ 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○ 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自 变量 x1， x2；当 x1x2 时，总有 f(x1)f(x2) 第 17 页 共 29 页 （ 2）如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 （ 3）设复合函数 y= f[g(x)]，其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定义域的某个区间， B 是映射 g : x→ u=g(x) 的象集： ①若 u=g(x) 在 A 上是增（或减）函数， y= f(u)在 B 上也是增（或减）函数，则函数y= f[g(x)]在 A 上是增函数； ②若 u=g(x)在 A 上是增（ 或减）函数，而 y= f(u)在 B 上是减（或增）函数，则函数y= f[g(x)]在 A 上是减函数。 （ 4）判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤： ○ 1 任取 x1， x2∈ D，且 x1x2； ○ 2 作差 f(x1)－ f(x2)； ○ 3 变形（通常是因式分解和配方）； ○ 4 定号（即判断差 f(x1)－ f(x2)的正负）； ○ 5 下结论 （即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性）。 （ 5）简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内： 增函数 )(xf 增函数 )(xg 是增函数； 减函数 )(xf 减函数 )(xg 是减函数； 增函数 )(xf 减函数 )(xg 是增函 数； 减函数 )(xf 增函数 )(xg 是减函数。 3．最值 （ 1）定义： 最大值：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：①对于任意的x∈ I，都有 f(x)≤ M；②存在 x0∈ I，使得 f(x0) = M。 那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 最小值：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：①对于任意的x∈ I，都有 f(x)≥ M；②存在 x0∈ I，使得 f(x0) = M。 那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大 值。 注意： ○ 1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 x0∈ I，使得 f(x0) = M； ○ 2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 x∈ I，都有 f(x)≤ M（ f(x)≥ M）。 （ 2）利用函数单调性的。