高中数学函数模型及其应用考点分析(编辑修改稿)

高中数学函数模型及其应用考点分析(编辑修改稿)内容摘要：

b，则当  2,2x 时， )2,)2(,)2(m a x()( m a x   abfffxf 又  724 11214 )1()1(202242 2   ffabfbabcabcabf， ∴ 此时问题获证。 综上可知：当   2 2x 时，有   7 7f x( )。 点评： 研究 )(xf 的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数 cba , . 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑 )1(f ，)1(f ， )0(f ，这样做的好处有两个：一是 cba , 的表达较为简洁，二是由于 01和 正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的。 要考虑 xf 在区间  7,7 上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑第 13 页 共 30 页 xf 在区间端点和顶点处的函数值。 题型 7：二次函数的图像与性质 例 13．（ 1996 上海，文、理 8）在下列图象中，二次函数 y=ax2+bx 与指数函数 y=（ ab ）x的图 象只可能是（ ） 解析一：由指数函数图象可以看出 0ab y=a（ x+ ab2 ） 2－224ab ，其顶点坐标为（－ ab2 ，－ ab42 ），又由 0ab 1，可得－ 21 － ab2 ，可选A。 解析二：求 y=ax2+bx 与 x 轴的交点，令 ax2+bx=0，解得 x=0或 x=－ ab ，而－ 1－ ab 0.故选 A。 点评：本题虽小，但一定要细致观察图象，注意细微之处，获得解题灵感。 例 14． （ 20xx 全国高考题）设 a∈ R，函数 f(x)=x2+|x－ a|+1,x∈ R. （ 1）讨论 f(x)的奇偶性 （ 2）求 f(x)的最小值 . 解：（ 1）显然 a=0 时， f(x)为偶函数， 当 a≠ 0 时， f(a)=a2+1, f(－ a)=a2+2|a|+1 f(a)≠ f(－ a), f(a)+f(－ a)≠ 0 ∴ 此时 f(x)为非奇非偶函数 . （ 2）首先应先去掉绝对值，再进行讨论 . ①当 x≤ a 时， 43)21(1)( 22  axaxxxf . 第 14 页 共 30 页 若21a,则 f(x)在区间（ ∞， a]上单调递减， ∴ f(x)的最小值为 f(a)=a2+1.(如图 (I)) 若21a，则 f(x)在区间（ ∞， a]上的最小 值为 af 43)21(（如图 II). ②当 x≥ a 时，43)21(1)( 22  axaxxxf， 若21a，则 f(x)在 [a,+∞ ]上的最小值为 af 43)21(（如图 III）。 若21a，则 f(x)在 [a,+∞ ]上单调递增。 则 f(x)在 [a,+∞ ]上的最小值为 f(a)=a2+1.(如图 IV)。 综上，当21a时， f(x)最小值为 a43。 当2121  a时， f(x)最小值为 a2+1。 当21a时， f(x)最小值为43a。 点评：该题考察到函数的图像与性质的综合应用，考察了分类讨论的思想。 题型 8：二次函数的综合问题 例 15．（ 20xx 浙江文 20 ） 已知函数 fx 和 gx 的图象关于原点对称，且  2 2f x x x。 第 15 页 共 30 页 (Ⅰ )求函数 gx的解析式； (Ⅱ )解不等式     1g x f x x  ； (Ⅲ )若       1h x g x f x  在  1,1 上是增函数，求实数  的取值范围。 解析： (Ⅰ )设函数  y f x 的图象上任意一点  00,Q x y关于原点的对称点为 ,Pxy ，则00000, ,2.0,2xxxxy y y y    即 ∵点  00,Q x y 在函数  y f x 的图象上 ∴  2 2 22 2 , 2y x x y x x g x x x        ， 即 故 (Ⅱ )由     21 2 1 0g x f x x x x     ， 可 得 当 1x 时， 22 1 0xx   ，此时不等式无解。 当 1x 时， 22 1 0xx   ，解得 112x  。 因此，原不等式的解集为 11,2。 （Ⅲ）      21 2 1 1h x x x      ①    1 4 1 1 ,1h x x     当 时 ， 在 上 是 增 函 数 ， 1  ② 11.1x     当 时 ， 对 称 轴 的 方 程 为 ⅰ） 11 1 , 1 .1      当 时 , 解 得 ⅱ） 11 1 , 1 0 .1       当 时 , 解 得 0.综 上 ， 点评： 本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。 例 16． 已知函数xz axf 22)( 。 （ 1）将 )(xfy 的图象向右平移两个单位， 得到函数 )(xgy ，求函数 )(xgy的解析式； （ 2）函数 )(xhy 与函数 )(xgy 的图象关于直线 1y 对称，求函数 )(xhy 的第 16 页 共 30 页 解析式； （ 3）设 )()(1)( xhxfaxF ，已知 )(xF 的最小值是 m 且 72m ，求实数 a的取值范围。 解析： (1)    。 222 22   xx axfxg (2)设  xhy 的图像上一点  yxP , ，点  yxP , 关于 1y 的对称点为  yxQ 2, ，由点 Q 在  xgy 的图 像上，所以 yaxx   222 22， 于是 ,222 22   xx ay 即  。 222 22   xx axh （ 3） 22 )14(2411)()(1)(   xx aaxhxfaxF。 设 xt 2 ，则 21444)(  tata axF。 问题转化为： 7221444  tata a对 0t 恒成立 . 即   014744 2  atta a对 0t 恒成立 . （ *） 故必有 044 aa. （否则，若 044 aa，则关于 t 的 二 次 函 数 14744)( 2  atta atu 开口向下，当 t 充分大时，必有  0tu ；而当 044 aa时， 显然不能保证（ *）成立 .），此时，由于二次函数  14744)( 2  atta atu的对称轴 0847 aat，所以，问题等价于 0t ，即 0144447044aa aaa， 解之得： 221 a。 第 17 页 共 30 页 此时， 014,044  aaa，故 21444)(  tata axF在aaat   4 )14(4取得最小值   214442  aa am满足条件。 点评： 紧扣二次函数的顶点式 ,44222a bacabxay  对称轴、最值、判别式显合力。 五．思维总结 1．函数零点的求法： ①（代数法）求方程 0)( xf 的实数根； ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 )(xfy 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。 2． 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征 . 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力 反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法 . 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题。 由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质。 （ 1）二次函数的一般式 cbxaxy  2 )0(  中有三个参数 cba , . 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数。 （ 2）数形结合：二次函数  0)( 2  acbxaxxf 的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。 结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观。 因为二次函数  0)( 2  acbxaxxf 在区间]2,( ab 和区间 ),2[  ab 上分别单调，所以函数 xf 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶 点处取得；函数 )(xf 在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得。 普通高中课程标准实验教科书 — 数学 [人教版 ] 第 18 页 共 30 页 高三新 数学 第一轮复习教案（讲座 7） — 函数模型及其应用 一．课标要求： 1． 利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 ； 2． 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。 二．命题走向 函数应用问题是高考的热点，高考 对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。 高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。 出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。 预测 20xx 年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。 （ 1）题型多以大题出现， 以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题； （ 2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。 三．要点精讲 1．解决实际问题的解题过程 （ 1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主。