高中数学函数与方程考点分析(编辑修改稿)

高中数学函数与方程考点分析(编辑修改稿)内容摘要：

a a a a       1 1 1( ) 02 2 1 1a a a a       ∴ f(a)g(a)。 点评：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等，充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口，解题思路：图形面积不第 14 页 共 32 页 会拆拼、数形结合 、等价转化。 例 16． 设曲线 C 的方程是 3y x x，将 C 沿 x 轴、 y 轴正方向分别平移 t 、 s ( 0)t个单位长度后得到 曲线 1C ， （ 1）写出曲线 1C 的方程； （ 2）证明曲线 C 与 1C 关于点 ( , )22tsA对称； （ 3）如果曲线 C 与 1C 有且仅有一个公共点，证明： 24tst新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/ 解析：（ 1）曲线 1C 的方程为 3( ) ( )y x t x t s    ； （ 2）证明：在曲线 C 上任意取一点 1 1 1( , )B x y ， 设 2 2 2( , )B x y 是 1B 关于点 A 的对称点，则有 1 2 1 2,2 2 2 2x x t y y s， ∴ 1 2 1 2,x t x y s y   。 代入曲线 C 的方程，得 22,xy的方程： 32 2 2( ) ( )s y t x t x    。 即 32 2 2( ) ( )y x t x t s    可知点 2 2 2( , )B x y 在曲线 1C 上。 反过来，同样证明，在曲线 1C 上的点 A 的对称点在曲线 C 上。 因此，曲线 C 与 1C 关于点 A 对称。 （ 3）证明：因为曲线 C 与 1C 有且仅有一个公共点， ∴方程组 33( ) ( )y x xy x t x t s      有且仅有一组解， 消去 y ，整理得 2 2 33 3 ( ) 0tx t x t t s    ，这个关于 x 的一元二次方程有且仅有一个根， ∴ 439 12 ( ) 0t t t t s     ，即得 3( 4 4 ) 0t t t s  ， 第 15 页 共 32 页 因为 0t ，所以 34tst。 点评：充分利用函数图像变换的原则，解决复合问题。 五．思维总结 函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换。 常见的函数数字特征有： （ 1）函数奇偶性： 奇函数 )()( xfxf  ； 偶函数 )()( xfxf 。 （ 2）函数单调性： 单调递增 0)()(2121  xx xfxf 或 0))()()(( 2121  xfxfxx ； 单调递增 0)()(2121  xx xfxf 或 0))()()(( 2121  xfxfxx。 （ 3）函数周期性 周期为 T ： )()( xfTxf  或 )2()2( TxfTxf ； （ 4）对称性 关于 y 轴对称： )()( xfxf  ； 关于原点对称： )()( xfxf  ； 关于直线 ax 对称： )()( xafxaf  或 )2()( xafxf  ； 关于点 ),( ba 对称： )2(2)( xafbxf  或 )()( xafbbxaf 。 普通高中课程标准实验教科书 — 数学 [人教版 ] 高三新 数学 第一轮复习教案（讲座 6） — 函数 与方程 一．课标要求： 1． 结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数第 16 页 共 32 页 的零点与方程根的联系 ； 2． 根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。 二．命题走向 函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。 从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。 高考试题中有近一半的 试题与这三个“二次”问题有关。 预计 20xx 年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。 （ 1）题型可为选择、填空和解答； （ 2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。 三．要点精讲 1．方程的根与函数的零点 （ 1）函数零点 概念：对于函数 ))(( Dxxfy  ，把使 0)( xf 成立的实数 x 叫做函数))(( Dxxfy  的零点。 函数零点的意义：函数 )(xfy 的零点就是方程 0)( xf 实数根，亦即函数)(xfy 的图象与 x 轴交点的横坐标。 即：方程 0)( xf 有实数根  函数 )(xfy 的图象与 x 轴有交点  函数 )(xfy 有零点。 二次函数 )0(2  acbxaxy 的零点： １）△＞０，方程 02  cbxax 有两不等实根，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，二次函数有两个零点； ２）△＝０，方程 02  cbxax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 x 轴有一个交点 ，二次函数有一个二重零点或二阶零点； ３）△＜０，方程 02  cbxax 无实根，二次函数的图象与 x 轴无交点，二次函数无零点。 零点存在性定理：如果函数 )(xfy 在区间 ],[ ba 上的图象是连续不断的一条曲线，第 17 页 共 32 页 并且有 0)()( bfaf ，那么函数 )(xfy 在区间 ),( ba 内有零点。 既存在 ),( bac ，使得 0)( cf ，这个 c 也就是方程的根。 二分法及步骤： 对于在区间 a[ ， ]b 上连续不断，且满足 )(af )(bf 0 的函数 )(xfy ，通过不断地把函数 )(xf 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 给定精度  ，用二分法求函数 )(xf 的零点近似值的步骤如下： （ 1）确定区间 a[ ， ]b ，验证 )(af )(bf 0 ，给定精度  ； （ 2）求区间 a( ， )b 的中点 1x ； （ 3）计算 )(1xf ： ①若 )(1xf =0 ，则 1x 就是函数的零点； ②若 )(af )(1xf 0 ，则令 b = 1x （此时零点 ),( 10 xax  ）； ③若 )(1xf )(bf 0 ，则令 a = 1x （此时零点 ),( 10 bxx  ）； （ 4）判断是否达到精度  ； 即若  || ba ，则得到零点零点值 a （或 b ）；否则重复步骤 2~4。 注：函数零点的性质 从“数”的角度看：即是使 0)( xf 的实数； 从“形”的角度看：即是函数 )(xf 的图象与 x 轴交点的横坐标； 若函数 )(xf 的图象在 0xx 处与 x 轴相切，则零点 0x 通常称为不变号零点； 若函数 )(xf 的图象在 0xx 处与 x 轴相交，则零点 0x 通常称为变号零点。 注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件 )(af )(bf 0 表明用二分法求第 18 页 共 32 页 函数的近似零点都是指变号零点。 3． 二次函数的基本性质 （ 1）二次函数的三种表示法 ： y=ax2+bx+c； y=a(x－ x1)(x－ x2)； y=a(x－ x0)2+n。 （ 2）当 a0， f(x)在区间［ p， q］上的最大值 M，最小值 m，令 x0=21 (p+q)。 若－ab2p，则 f(p)=m， f(q)=M； 若 p≤－ab2x0，则 f(－ab2)=m， f(q)=M； 若 x0≤－ab2q，则 f(p)=M， f(－ab2)=m； 若－ab2≥ q，则 f(p)=M， f(q)=m。 （ 3）二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件。 ①方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大，另一根比 r 小  a f(r)0； ②二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r0)(,2,042rfarabacb ③二次方程 f(x)=0 在区间 (p， q)内有两根。 0)(,0)(,2,042pfaqfaqabpacb ④二次方程 f(x)=0 在区间 (p， q)内只有一根  f(p) f(q)0，或 f(p)=0(检验 )或 f(q)=0(检验 )检验另一根若在 (p， q)内成立。 四．典例解析 题型 1：方程的根与函数零点 例 1．（ 1）方程 lgx+x=3 的解所在区间为 （ ） A． (0， 1) B． (1， 2) C． (2， 3) D． (3， +∞ ) （ 2）设 a 为常数，试讨论方程 )lg ()3lg ()1lg ( xaxx  的实根的个数。 解析： （ 1）在同一平面直角坐标系中，画出函数 y=lgx 与 y=x+3的图象 (如图 )。 它们的交点横坐标 0x ，显然在区间 (1， 3)内，由此可排除 A， D新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/至于选 B 还是选 C，由于画图精确性的限制，x0321321oyx第 19 页 共 32 页 单凭直观就比较困难了。 实际上这是要比较 0x 与 2 的大小。 当 x=2 时， lgx=lg2， 3x=1。 由于 lg2＜ 1，因此 0x ＞ 2，从而判定 0x ∈ (2， 3)，故本题应选 C。 （ 2） 原方程等价于xaxxxaxx)3)(1(00301 即   31 352x xxa 构造函数 )31(352  xxxy 和 ay ，作出它们的图像，易知平行于 x 轴的直线与抛物线的交点情况可得： ①当 31 a 或 413a 时，原方程有一解； ②当 4133 a 时，原方程有两解； ③当 1a 或 413a 时，原方程无解。 点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。 本题是通过构造函数用数形结合法求方程 lgx+x=3 解所在的区间。 数形结合，要在结合方面下功夫。 不仅要通过图象直观估计，而且还要计算 0x 的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。 例 2．（ 20xx 广东 19） 设函数 ()fx 在 ( , ) 上满足 (2 ) (2 )f x f x  ，(7 ) (7 )f x f x  ，且在闭区间［ 0， 7］上，只有 (1) (3) 0ff。 （Ⅰ）试判断函数 ()y f x 的奇偶性； （Ⅱ）试求方程 ()fx=0 在闭区间［－ 20xx， 20xx］上的根的个数，并证明你的结论。 解析：由 f(2－ x)=f(2+x),f(7－ x)=f(7+x)得函数 )(xfy 的对称轴为 72  xx 和 , 从而知函数 )(xfy 不是奇函数 , 创造的有高级的图表的试验版本 25xay第 20 页 共 32 页 由 )14()4()14()( )4()()7()7(。