数形结合在解题中的应用(毕业论文)(编辑修改稿)

数形结合在解题中的应用(毕业论文)(编辑修改稿)内容摘要：

时，我们 时常可以根据它们 性质画图来解 . 例 6 ||0 1 | l og | ( )x aa a x  已 知 ， 则 方 程 的 实 根 个 数 为. A . 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D . 1 个或 2 个或 3 个 解 判断方程的根的个数就 是判断图象 与 的交点个数，画y a y xx a | | | log | 出两个函数图象，由图 7 易知两图象只有两个交点，故方程有 2 个实根 ,选（ B ） . 图 7 例 7 方程 lgx+x=3 的解所在 区间为 （ ） A ． (0， 1) B ． (1， 2) C ． (2， 3) D ． (3， +∞ ) 分析 我们可以把原方程拆分成 函 数 lgyx 与 3yx  ，求原方程解所在的区间也就是求这 2 个函数的交点所在区间 . logayx xy a 图 8 y=x+3 y=lgx 吉首大学本科生毕业论文 7 解 如图 8 所示， 函 数 y=lgx 与 y=x+3 它们 图像 交点 的 横 坐 标 0x 显 然在 区间 (1， 3)内 ，由此 可排除 A ， D 至于 选 B 还 是 选 C ，由于 画图 精确性的限制， 单 凭直 观 就比 较 困 难 了． 实际 上 这 是要比 较 0x 与 2 的大小． 当 x=2 时 lgx=lg2 3x=1．由于 lg2＜ 1 因此 0x ＞ 2 从 而判定 0x ∈ (2， 3)，故本 题应选 C 在上面四个例题中，我们可以知道利用数和形的各自优势，往往能使我们尽快地找到解题途径或简化解题过程，给解题带来极大的方便 . 数形结合 在求不等式问题中的应 用 不等式在中学数学有着重要地位，而不等式的证明又是个难题，它的题型广泛、灵活 .下面我将从运用代数式的几何意义或借助函数的图象构造几何图形入手，利用数形结合的思想来巧妙地求解不等式问题 . ． 1 构造适当的平面图形，利用三角形三边的关系来证明不等式 我将举常见的两个证明题，并且给出详细解答步骤，来说明不等式和数形结合思想的巧妙结合 . 例 8 已知实数 0, 0ab，请证明如下不等式成立 22222   baba. 分析： 我们可以构造一个四边形 ，在利用勾 股定理来解 . 证明 ： 如图 9 所示，作以 a , b 为上、下底， ab 为高的直角梯形 BCDE ，在图中有 ,BC AD a C A C E b   . BC A DEabccabd 图 9 直角梯形 BCDE 则根据勾股定理有 22AEAB bac  2222BE bac  又因为 CDBE ，则有如下不等式的成立 baba  222 对上述不等式的两边平方可得到 吉首大学本科生毕业论文 8 222 )()(2 baba  即原不等式成立得到证明 . 例 9 已知 ,abm 都是正数 ，且 ab ， 求证 ： a a mb b m . 分析 要从 不等式 a a mb b m 的结构上观察，可以联想到三角形相似比的问题，因此我们可以 构造图 形来 进行证明 . 证明 如右图 10 所示，构造一个直角三角形 ABC ，在边 AC 上取一点 D ，并且使得 CD b ， 过点 D 作 DE BC ，垂足为 E 令 CE a BE m .由于 C E B C C E B C B CC D A C C D C D A D C D D F    即 构造适当的函数，利用函数图象性质证明不等式 例 10 已知实数 Rcba , ，请证明下述不等式的成立 2222 )(31 cbacba  分析 我们可以先把不等式变形，再根据变形后不等式，联想到三角形的重 心 ，这道题将通过引入函数图形进行数形结合对其进行证明 . 证明 原不等式等价为 222233   cbacba 设二次函数 2xy ，则可将 ),(),(),( 222 ccbbaa 看作曲线 2xy 上的三个点，则原式的左边 3 222 cba  是三点纵坐 标平均值，右边是横坐标平均值 3 cba  的平方，这样为由这三个点构成的三角形的重心坐标为   3,3222 cbacba . a b FEAB CDm 图 10 a a m a mb b AD b m吉首大学本科生毕业论文 9 ABCDMPGxy 图 11 曲线 2xy 的图形 如图 11 所示，作出函数 2xy 的图形， A、 B、 C 三点在函数 2xy 上，分别表示点 ),(),(),( 222 ccbbaa .此时 G 是 ΔABC 的重心， xGP 轴于 p 且与曲线 2xy 交于点 M，则有点 G 和 M 的坐标为   3,3 22。