数学学年论文毕业论文：关于定积分一些重要性质的讨论(编辑修改稿)

数学学年论文毕业论文：关于定积分一些重要性质的讨论(编辑修改稿)内容摘要：

)| 的最大值为 M, 且 f(a)=0, 试证 :M2  dxba xf  )(( 2 5 证明： 对任意的 x ∈ [a ， b], 由 许 瓦 兹 不 等 式 , 都有 xa dttf ))(( 2=  xa dttf )1).(( 2 dtxa tf  ))(( 2 dtxa 12  dxba xf  ))(( 2dxba12 =(ba) dxba xf  ))(( 2 而  xa dttf ))(( 2= ))()(( 2afxf  = )(2 xf 所以 )(2xf (ba) dxba xf  ))(( 2 上面不等式对一切 x∈ [a， b]成立，所以 max )(2 xf , x∈ [a， b]   (ba) dxba xf  ))(( 2 即 : M2  (ba) dxba xf  ))(( 2 积分第一中值定理 : 设 f(x),g(x) 在 [a,b]上连续 ,g(x)在 [a,b]上不变号，则  存在 y∈ [a， b] ，使：ba dxxgxf )()( =f( )ba dxxg )( 证明过程参考华东师范大学数学系编著《数学分析》上册。 推论 3 设 f(x)在 [a,b]上连续，则存在  ∈ （ a,b），使： ba dxxf )(=f( )(ba) 例 4 试证： dxxx 20 2^1sin dxxx 20 2^1cos 证法 1（用定理 2） dxx xx 20 2^1 cossin = dxx xx 40 2^1 cossin + dxx xx 2^1 cossin24  = 2^11y  40 )cos(s in dxxx + 2^11t 24 )cos(s in dxxx =( 2 1)( 2^11t 2^11y )其中： 0y4 ,4 t2 从而 dxx xx 20 2^1 cossin 0,即 dxxx 20 2^1sin dxxx 20 2^1cos 证法 2（用推论 1），令 2 x=t,，则 dxx xx 2^1 cossin24 = dxx xx  420 2)^(1sincos  , dxx xx 40 2^1 cossin = dxx xx 40 2^1 cossin + dxx xx 2^1 cossin24 = 6   dxxxxx )c os(s i n2)^(1 10 2^1 1 24    由于 0x4 ,2 xx, 2)^(1 12^1 1 2 xx   (sinxcosx)0 所以 dxx xx 20 2^1 cossin 0 例 5（ 2020 年考研题） 设 f(x)在 [0，  ]连续。 dxxf )(0=0, xdxxf cos)(0=0 试证 ： 在（ 0，  ）至少存在两不同点 y1， y2，使 f(y2)=f(y2)=0 证明 令 F(x)= dttfx )(0，则 F(0)=F( )=0 而 xdxxf cos)(0 =F(x)cosx| 0 +0 sin)( xdxxF =0 sin)( xdxxF =F(y)siny=0,y(0, ) 推出 F(y)=0(若仅有 y(0, ),就不能推出 F(y)=0 , 因 sin0=sin =0),由 F(0)=。