数学建模竞赛常用建模方法探讨所有专业(编辑修改稿)

数学建模竞赛常用建模方法探讨所有专业(编辑修改稿)内容摘要：

dttdp)( =a )(tp . (1) 若已知初始时刻 t =t 0 时的人口总数为 p0，那么 )(tp 还满足初始条件 9 t =t 0 时， )(tp =p0. (2) 可以求得微分方程 (1)满足初始条件 (2)的解为（设 a 是常数） )(tp =p0e )0( tta  , (3) 即人口总数按指数增长。 模型参数的意义和作用： t 0 为初始时刻（初始年度）， p0 为初始年度 t 0 的人口总数，a 为每年的人口净增长率， b 为人口出生率， d 为人口死亡率。 Malthus 人口模型所说的人口并不一定限于人，可以是认可一个生物群体，只要满足类似的性质即可。 线性差分方程的解法 方程 )(.. .110 nbxaxaxa nkknkn   （ 1） 其中 kaaa ,..., 10 为常数，称方 程（ 1）为常系数线性方程。 又称方程 0. ..110   nkknkn xaxaxa （ 2） 为方程（ 1）对应的齐次方程。 如 果（ 2）有形如 nnx  的解，带入方程中可得： 0.. . 1110   kkkk aaaa  （ 3） 称方程（ 3）为方程（ 1）、（ 2）的特征方程。 显然，如果能求出（ 3）的根，则可以得到（ 2）的解。 基本结果如下： ① 若（ 3）有 k 个不同的实根，则（ 2）有通解： nkknnn cccx   . ..2211 ， ② 若（ 3）有 m重根  ，则通解中有构成项： nmm ncc )...( 121   ③ 若（ 3）有一对单复根  i ，令：  ie ，  a rc t a n,22  ，则（ 2）的通解中有构成项： nc nn  s inc os 21   ④ 若有 m 重复根：  i ，  ie ，则（ 2 ）的通项中有成10 项： nncncc nmmmmnmm  s i n)...(c os)...( 1221121    综上所述，由于方程（ 3）恰有 k 个根，从而构成方程 （ 9）的通解中必有 k 个独立的任意常数。 通解可记为： nx 如果能得到方程（ 1）的一个特解： *nx ，则（ 1）必有通解： nx nx + *nx （ 11） （ 1） 的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果 )(),()( npnpbnb mmn 为 n 的多项式，则当 b 不是特征根时，可设成形如 )(nqb mn 形式的特解，其中 )(nqm 为 m 次多项式；如果 b 是 r 重根时，可设特解：rnb )(nqm ，将其代入（ 8）中确定出系数即可。 4 数据差值与拟合方法 在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。 与此有关的一类问题是当原始数据 ),(,),(),( 1100 nn yxyxyx 精度较高，要求确定一个初等函数 )(xPy （一般用多项式或分段多项式函数）通过已知各数据点（节点），即 nixPy ii ,1,0,)(  ，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。 拉格朗日插值法 数据建模有两大方法：一类是插值方法，另一类是拟合函数一般的说，插值法比较适合数据准确或数据量小的情形。 然而 Lagrange 插值有很多种， 1 阶， 2 阶 ,„ n 阶。 我们可以利用拉格朗日插值求方程，根据它的程序求原方程的图像。 下面我具体介绍分析一下拉格朗日插值的算法设计及应用。 已知函数 y=f(x)在若干点 ix 的函数值 iy = ixf （ i=0,1,  ,n）一个差值问题就是求一“简单”的函数 p(x)： p( ix )= iy ,i=0,1,  ,n, (1) 11 则 p(x)为 f(x)的插值函数，而 f(x)为被插值函数会插值原函数， 0x ， 1x ， 2x ， ..., nx 为插值节点，式（ 1）为插值条件，如果对固定点 x 求 f( x )数值解，我们称 x 为一个插值节点，f( x ) p(x )称为 x 点的插值，当 x [min( 0x ， 1x ， 2x ， ..., nx )， max( 0x ， 1x ， 2x ， ..., nx )]时，称为内插，否则称为外插式外推，特别地，当 p(x)为不超过 n 次多项式时称为 n 阶 Lagrange插值。 ① 线性插值公式 )1(1L ： 设已知 0x ， 1x 及 0y =f( 0x ) , 1y =f( 1x ), )(1xL 为不超过一次多项式且满足 )( 01 xL = 0y , )(11xL = 1y ,几何上， )(1xL 为过（ 0x ， 0y ），（ 1 x ， 1y ）的直线，从而得到 )(1xL = 0y + 01 01 xxyy（ x 0x ） . （ 2） 为了推广到高阶问题，我们将式（ 2）变成对称式 )(1xL =0l （ x） 0y +1l (x) 1y . 其中， 0l （ x） = 101xx xx ,1l (x)= 010xx xx。 均为 1 次多项式且满足 0l （ x） =1 且 1l (x)=0。 或 0l （ x） =0 且 1l (x)=1。 两关系式可统一写成 )(ii xl = ji ji01。 （ 3） ② n 阶 Lagrange 插值公式 )(xLn ： 设已知 0x ， 1x ， 2x ， ..., nx 及 iy =f( ix )(i=0,1,.....,n), )(xLn为不超过 n 次多项式且满足 iin yxL )( （ i=0,1,...n） . 易知 )(xLn =0l （ x） 0y +....+ )(xln ny . 其中， )(xli 均为 n 次多项式且满足式（ 3）（ i,j=0,1,...,n） ,再由 jx （ j i）为 n 次多项式)(xli 的 n 个根知 )(xli =cniijjxx0.最后，由  1)()(0nijjjiji xxcxlc=nijjji xx0)(1,i=0,1,...,n. 12 总之， )(xLn = ini i yxl0 )( ， )(xli =.0 nijj jijxx xx式为 n 阶 Lagrange 插值公式，其中， )(xli（ i=0,1,...n）称为 n 阶 Lagrange 插值的基函数。 最小二乘法 在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作 x，而把所有的误差只 认为是 y 的误差。 设 x 和y 的函数关系由理论公式 y＝ f（ x； c1， c2，„„ cm） （ 001） 给出，其中 c1， c2，„„ cm是 m个要通过实验确定的参数。 对于每组观测数据（ xi，yi） i＝ 1， 2，„„， N。 都对应于 xy 平面上一个点。 若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。 只要选取 m组测量值代入式（ 001），便得到方程组 yi＝ f（ x； c1， c2，„„ cm） （ 002） 式中 i＝ 1， 2，„ „， m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。 显然 Nm 时，参数不能确定。 在 Nm的情况下，式（ 002）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。 设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，则 y 的观测值 yi 围绕着期望值 f（ x； c1， c2，„„ cm） 摆动，其分布为正态分布，则yi 的概率密度为        2 2212 , . . . . . . ,。 e x p2 1imiiiicccxfyyp , 式中 i 是分布的标准误差。 为简便起见，下面用 C 代表（ c1， c2，„„ cm）。 考虑 各次测量是相互独立的，故观测值（ y1， y2，„„ cN）的似然函数        Ni iiNN CxfyL 1 2 221。 21e x p. ..2 1  . 取似然函数 L 最大来估计参数 C，应使    min。 1122 Ni iii Cxfy （ 0。