数学专业毕业论文1----导数的应用(编辑修改稿)

数学专业毕业论文1----导数的应用(编辑修改稿)内容摘要：

用 ,也是与高等数学接轨的有力点 . 例 5 证明贝努利  Bernoulli 不等式 :如果 x 是实数 ,且 1x , 0x ,n 为大于 1的自然数 ,那么  11nx nx   . 证明 令    11nf x x nx   ,则     11 nf x n x n  ． 1) 当 10x   时 ,0 1 1x   ,而 10n , 因此    101 1 1nxx   , 所以   11 nn x n, 故   0fx  ,即 fx在  1,0 上为减函数 . 2) 当 0x 时 ,11x,而 10n , 因此    101 1 1nxx   , 9 所以   11 nn x n, 故   0fx , 即 fx 在  0, 上为增函数 . 综上可知 0f 是唯一的最小值 ,于是当    1, 0 0,x   时 ,有   00f x f,因此  11nxn    10x  且 x . 贝努利不等式很容易被推广到更一般的情形 1) 当 a 是实数 ,并且满足 1a 或 0a 时 ,有    1 1 1ax ax x    , 2) 当 a 是实数 ,并且满足 01a时 ,有    1 1 1ax ax x    . 例 6 已知 0x ,证明  ln 1xx. 证明 令    ln 1f x x x  ,容易看出 fx在  0, 上可导 , 且   11 11xfx xx  , 可得 当  0,x  ,   0fx  , 所以 fx在  0, 是增函数 , 即  ln 1 0xx   , 所以 当 0x 时 ,  ln 1xx. 例 7 已知函数    3 0f x ax cx d a   是 R 上的奇函数 ,当 1x 时 fx取得极值 2 ． 1) 求 fx的单调区间和极大值 . 2) 证明 对任意  12, 1,1xx ,不等式    12 4f x f x 恒成立 ． 解 1)   3 3f x x x, fx在区间  1,1 上是减函数 ,极大值  12f  , 极小值  12f  ．  过 程 略 2) 由 1) 知 ,     323 1 , 1f x x x x   是减函数 , 且 10 fx在  1,1 上的最大值  12Mf   , fx在  1,1 上的最小值  12mf  , 所以 ,对任意的  1, 2 1,1xx ,恒有      12 2 2 4f x f x M m      ． 如果能求出 fx在区间  ,ab 上的最大值为 M ,最小值为 m ,那么对于任意 12,x x a b ,恒有    12f x f x M m  ． 通过上述的几个实例 , 感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用 ,特别是处理不等式的有关问题 ,从而体会导数的思想及其内涵． 求和 数列求和是中学数学中常见的问题 ,也是学生难以掌握的问题 ,用导数的相关性质来解决此类问题 ,快捷且容易理解 . 例 82 求  211 2 3 1nx x nx x    的和 . 解 由于   21 nf x x x x    ,对 x 求导得   211 2 3 nf x x x nx      , 因为 12 11 1 nn xx x x x     , 对上式两边求导得    1212111 2 31nnn n x n xx x n xx        , 所以    1212111 2 31nnn n x n xx x n xx        . 求极限 常用的导数定义式 设函数  y f x 在点 0x 处可导 ,则有下列式子成立      0 00limxx f x f xfx xx   。 11      000 0l imh f x h f xfx h   . 巧用导数的定义式求极限 例 9 设 fx在  ,ab 上连续 , a c x b   ,证明        0 1l imn f t n f t d t f。