数学与应用数学-中心极限定理探讨及应用(编辑修改稿)

数学与应用数学-中心极限定理探讨及应用(编辑修改稿)内容摘要：

（9） （10）在这些记号下，由（6） 故林德贝格条件可化为：对任意， ； （11）而(2)式化为：对均匀的有 （12）如果在条件（11）下，能够证明的特征函数 亦即 （13） 那么根据定理3．2．3[4]，（12）成立；再由定理3．1．3，（12）中收敛对还是均匀的，于是定理3得以证明．现在也就是只要证出（13）成立 则问题得证 为了证明（13），分两步．（甲）先证可展开为 ， （14）其中函数在任意有穷区间内趋于实际上，由（9）中前一式 （15）根据（5） ． （16）其中任意．由（11），对一切充分大的有；从而关于及任何有限区间中的，同时有 因而对任意，均匀的有． （17）特别，当时，对一切充分大的，下式成立： （18）因此，在中，有展开式 （19）其中 由（18） ；但由（16）中第一个不等式及（10） 故 由（17）可见当时，关于任意有穷区间中的均匀的有 （20）（乙）令 由（15）得 ． （21）如果能够证明：对任意有穷区间中的均匀的有 ． (22)那么以（21）代入（14）并联合（甲）中的结论即得证(13),而且（13）中的收敛对任意有穷区间内的均匀，从而定理得以完全证明．今证（22），由（10） 对任意， 由（4）（5）得 由（10）可见：对，有 （23）对任意，可选使 又由（11），存在正整数，使对此及，有 （24）于是当时，对一切，有 2．3．2李雅普诺夫中心极限定理如对独立随机变数列，存在常数，使当时有 （25）则（2）对均匀的成立． 证．只要验证林德贝格条件满足，由（25） 例3 一份考卷由99个题目组成,并按由易到难顺序排列．某学生答对第1题的概率为0．99。 答对第2题的概率为0．98。 一般地，他答对第题的概率为．加入该学生回答各题目是相互独立的，并且要正确回答其中60个题目以上（包括60个）才算通过考试．试计算该学生通过考试的可能性多大。 解 设 于是相互独立，且服从不同的二点分布： 而我们要求的是 ． 为使用中心极限定理，我们可以设想从开始的。