数学与应用数学--不等式的证明(编辑修改稿)

数学与应用数学--不等式的证明(编辑修改稿)内容摘要：

ba cbaabc  湖南理工学院 本科毕业论文 11 3 利用积分不等式的性质 积分不等式的性质 性质 1 函数的代数和的积分等于各个函数积 分的代数和    ba baba dxxgkdxxfkdxxgkxfk )()()]()([ 2121 其中 21,kk 都是常数 性质 2 如果在区间 ],[ ba 上 1)( xf ,则   ba ba abxdxd )()(1 性质 3 如果在区间 ],[ ba 上 0)( xf ，则  ba badxxf )(0)( 性质 4 如果在区间 ],[ ba 上有 )()( xgxf  则   ba ba badxxgdxxf )()()( 性质 5 )()()( badxxfdxxf baba   性质 6（估值定理） 如果 M 和 m 分别是 )(xf 在区间 ],[ ba 上的最大值和最小值 ,则有 )(,)()()( baabMdxxfabm ba   性质 7 如果函数 )(xf 在区间上可积 ,c 是 ],[ ba 内的一点 )( bca  ,则函数)(xf 在 ],[ ca 及 ],[ bc 上也可积 ,并且   ba ca cb dxxfdxxfdxxf )()()( 性质 7 的证明 ： 对于 ],[ ba 的任意划分 ,在插入一个分点 c ,得到一种新的分划 ,在这些心的分划中 ,点 c 永远是一个分点 ,因而有ibc ica iiiba i xfxfxf   )()()( ),(),(),(  令 0 ,上式两端同时取极限 ,就得到   ba ca bc dxxfdxxfdxxf )()()( 积分中值公式 如果函数 )(xf 在闭区间 ],[ ba 上连续 ,则在积分区间 ],[ ba 上至少存在点  ,使得  ba baabfdxxf )(),)(()(  证明 : 因为 )(xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，故在 ],[ ba 上可积，且有最大值 M 及最小值 m , 即 )()( baMxfm  于是 , 由定积分的估值定理 , 有  ba baabMdxxfabm )(),()()( 湖南理工学院 本科毕业论文 12 注意 ab ,将上面各式除以 ab ,得   ba Mdxxfabm )(1 可见确定的数值  ba dxxfab )(1介于连续函数 )(xf 在闭区间 ],[ ba 上最大值M 与最小值 m 之间 .根据闭区间上 连续函数的介值定理，在 ],[ ba 上至少存在一点  ，使得  )(f ，即   ba badxxfabf )(,)(1)(  亦即  ba baabfxf )(),)(()(  这个公式叫做积分 中值公式（积分第一中值定理） , )(f 叫做函数 )(xf 在区间 ],[ ba 上积分平均值 性质 8 若 gf, 都在 ],[ ba 上可积 ,则 gf 在 ],[ ba 上也可积 性质 9  ba ab dxxfdxxf )()(特别的  a dxxfa 0)（ 性质 10 （积分第二中值定理）： 若 )(xf 是 ],[ ba 上单调函数 , )(xg 为 可积函数 ,则 ],[ ba ,使得   ba a b dxxgbfdxxgafdxxgxf   )()()()()()( 性质 11 (柯西不等式 )   bababa dxxgdxxfdxxgxf )()(])()([ 222牛顿 — 莱布尼兹公式（重要公式） 若函数 )(xf 在 ],[ ba 上连续 , )(xF 为 )(xf 的一个原函数 , 即 ],[),()( baxxfxF  ,且  ba aFbFdxxf )()()( 变限积分 设 )(xf 在 ],[ ba 上可积，对于任给 ],[ bax , )(xf 在 ],[ xa 和 ],[ bx上均可积 ,分别称 xa dttf )(和 bx dttf )(为变上限的积分和变下限的积分，统称为变限积分 .若 f 在 ],[ ba 上连续 ,则其变限积分作为关于 x 的函数 ,在 ],[ ba 上处处可导 ,且 )())(()())(( xfdttfdxdxfdttfdxd bxxa   ， 更一般的有 )()]([)()]([)()()( xhxhfxgxgfdttfdxdxgxh  积分不等式的证明 例 9． 设 )(xf 在 ],[ ba 上有一阶连续导数 ,且 0)( af ,证明： 湖南理工学院 本科毕业论文 13 (1) |)(|m a x2 )(|)(| ],[2 xfabdxxf baxba   (2) dxxfabdxxf baba 222 ])([2 )()(   分析： (1)该不等式实际上给出了左边积分的一个界 .若令 |)(|max],[ xfM bax  ,则有 Mxf  |)(| , 即 给 出 了 导 数 的 界 ， 再 加 条 件 0)( af , 估计出],[),(|)(| baxaxMxf  ,进而估计出积分的界 . (2)不等式两边分别有 )(xf 和 )(xf ，而等式 )()()(00 xfdxxfxf xx  可将两者联系起来 ,这里 0x 要根据具体问题具体选择 ,本题中容易想到 ax0 证明 ： (1)令 |)(|max],[ xfM bax  ,由积分中值定理知 ))(()()()( axfafxfxf   从而 ],[),(|))((||)(| baxaxMaxfxf   所以 MabdxaxMdxxfdxxf bababa 2 )()(|)(||)(|2   (2)   xaxa dttfafdttfxf )()()()(,则   xaxaxa dttfdtdttfxf 222 )]([1])([)( dxxfab ba 22 ])([2 )(   故   bababa dxaxdttfdxxf )()]([)( 22 dxxfab ba 22 ])([2 )(   例 10． 比较定积分 10 dxex与  10 )1( dxx的大小 解 ： (用性质 3) 设 xexf x  1)( ,我们只需判别 )(xf 在 ]1,0[ 的正负号 , 因 01)(  xexf , 0)0( f ,故 0)( xf 所以 10 dxex  10 )1( dxx 例 )(xfy 定义在区间 ],[ ba 上 ,且对于区间 ],[ ba 上任意二点 1x ，湖南理工学院 本科毕业论文 14 2x ，有 2121 )()( xxxfxf  .证明 : （ 1） 对于 ),( ba 内每一点 , )(xf 是连续函数； （ 2） 如果 )(xf 在 ],[ ba 上可积 ,则 2)(21)()()( abxfabdxxfba  证明： （ 1）任给 ),( bax ,由题设知 .)()( xxfxxfy  于是当 0x 时 , 0y ,故 )(xf 连续 (2)当 ax 时 ,有 axaxafxf  )()( ,即 )()()()()( axafxfaxaf  两边积分 ,可得  。