迎战20xx年高考数学-函数的奇偶性与周期公式推导及例题解析(编辑修改稿)

迎战20xx年高考数学-函数的奇偶性与周期公式推导及例题解析(编辑修改稿)内容摘要：

b a    ，所以函数 ()fx的周期是 abT 22  ；同理若 ( ) ( ) 1 ( )f x a f x b a b     ，则 ()fx的周期是 2( )T b a （ 4）函数图象有 ax ， )( babx  两条对称轴，即 )()( xafxaf  ，)()( xbfxbf  ，从 而得  ( 2 ) ( 2 2 ) ( )f x a b a f x   ，故函数 )(xf 的周期是2( )T b a （ 5）由 1 ( )( ) ( )1 ( )f x af x a a bf x b  得 1( 2 )( 2 )f x a f x b ，进而得1)2()2(  bxfaxf ，由前面的结论得 )(xf 的周期是 )(4 abT  用函数周期性例题解析 例 1.（ 1996 年高考题）设 )(xf 是 ),(  上的奇函数， ),()2( xfxf  当 10 x 时，xxf )( ，则 )(f 等于  （ A）。 （ B）。 （ C）。 （ D） . 分析 ：此题的关键在于求 )(xfy 的周期，如果类比模型函数 xy sin 及诱导公式xx sin)sin(  ，将由 xy sin 最小正周期为 2 ，可以猜想 )(xf 周期为 422  ，会使问题得以解决 . 解：     )()()2()2(2)4( xfxfxfxfxf  ).(,)(,)(,10)()()()(.4),()4(Bfxxfxffffxfxf选择时故函数的周期为 例 2．（ 1989 年北京市中学生数学竞赛题）已知 )(xf 是定义在实数集上的函数，且  )(1)(1)2( xfxfxf  ， ,32)1( f 求 )1989f 的值 . 6 分析：回顾三角部分的知识，不难发现 )(11)4( xftgxtgxxtg 与 满足的关系式的结构完全类似 .由于 tgx 的周期 ,44  而这个4相当于原题中的 2,于是可猜想： )(xf 是以 824  为其一个周期的周期函数 . 解：由已知得 ,)(1 )(1)2( xf xfxf  那么  )(1)(1)(11)(1)(11)2(1)2(1)2(2)4(xfxfxfxfxfxfxfxfxf     )()4( 1)4(4)8( xfxfxfxf  ，即函数 )(xf 是以 8 为周期的周期函数 . 由于 32)1( f 知， .32)1()18(  fkf .23)1 9 8 9(,23)32(32 1)1(1)18248(1)1 9 8 5(1)41 9 8 5()1 9 8 9(ffffff 二、比较函数值大小 例 ))(( Rxxf  是以 2 为周期的偶函数，当  1,0x 时 ， ,)( 19981xxf  试比较 )1998(f、)17101(f 、 )15104(f 的大小 . 解： ))(( Rxxf  是以 2 为周期的偶函数， )1514()15146()15104()171()171()1716()17101(),1916()1916()19166()1998(fffffffffff 又 19981)( xxf  在 1,0 上是增函数，且 1151419161710 ，).15104()1998(17101(),1514()1916()171( ffffff  即 7 三、求函数解析式 例 4.（ 1989 年高考题）设 )(xf 是定义在区间 ),(  上且以 2 为周期的函数，对 Zk ，用 kI表示区间 ),12,12(  kk 已知当 0Ix 时， .)( 2xxf  求 )(xf 在 kI 上的解析式 . 解：设 1211212),12,12( 。