江南中学数学选拔赛试卷(编辑修改稿)

江南中学数学选拔赛试卷(编辑修改稿)内容摘要：

72，由于 117＝ 72＋ 45＝ 63＋ 54，设弄错的两位数是 ab 和 cd ，若9ab =72， 9cd =45，只有 ab ＝ 19，而 cd 可以取 l6， 27， 38， 49；这时 ab +cd的最大值是 68；若 9ab =63， 9cd =54，则 ab 可以取 18， 29，而 cd 可以取17， 28， 39， ab +cd 的最大值也是 68． 三、解答题 (每 题 8分 ，满分 40分 ) ： （ Ⅰ ） 如图， 由抛物线开口向上，得 0a ． „„ 1 分 由抛物线过点 (0, 1) ，得 10c  ． „„ 2 分 由抛物线对称轴在 y 轴的右侧，得 02ba， 又 0a ， 得 0b ． ∴ 0a ， 0b ， 0c ． „„„„„„„„„„„„„„ 4 分 （ Ⅱ ）由抛物线过点 (1,0) ，得 0a b c   ． 即 1ab，由 0a ，得 1b ． „„„„„„„„„„„„„„ 6 分 ∴ 10b   ，∴ ( 1 ) 1 2a b c b b b      ． ∴ 20abc     ． „„„„„„„„„„„„„„ 8 分 ： 由 勾股定理 ，得 2 2 2c a b． „„„„„„„„„„„„„„ 3 分 又 1 ()3c ab a b  ，得 2 2 2 21 1 2[ ( ) ] ( ) ( ) ( )3 9 3c a b a b a b a b a b a b       ． 即 2 2 2 2 212( ) ( ) 293a b a b a b a b a a b b      ． 整理，得 6( ) 18 0ab a b   ．即 ( 6)( 6) 18ab   ． „„„„„„„„„ 4 分 因为 ,ab均为正整数，不妨设 ab ， 可得 6 1,6 18,ab  或 6 2,6 9,ab 或 6 3,6   可解出 7,24,25,abc或 8,15,17,abc或 9,12,15.abc 所以，满足条件的直角三角形有 3 个． „„„„„„„„„„„„„„ 8 分 ： （ Ⅰ ） 【证明 】 ∵△ ACD 是△ ACD 沿 AD 做轴对称变换得到的， ∴△ ACD ≌△ ACD . 有 CD CD  ， ADC ADC  ． „„„„„„ 1 分 ∵ 12BD CD， 60ADC， ∴ 12BD CD， 18 0 60BDC ADC ADC      ． „„ 2 分 取 CD 中点 P，连接 BP ，则△ BDP 为等边三角形，△ BCP 为等腰三角形， „ 3 分 有 11 3022B C D B P D B D C      ． ∴ 90CBD，即 BC BC ． „„ 4 分 （ Ⅱ ） 【解 】 如图，过点 A 分别作 ,BC C D BC的垂线，垂足分别为 ,E F G ． ∵ ADC ADC  ， 即点 A 在 CDC 的平分线上， ∴ AE AF ． „„ 13 分 ∵ 90CBD， 45ABC， ∴ 45GBA C BC ABC     ， 即点 A 在 GBC 的平分线上，∴ AG AE ． „„ 6 分 于是， AG AF ，则点 A 在 GCD 的平分线上 ． „„„„„„„„„„ 7 分。