高考数学第一轮复习——立体几何(二)(理)(编辑修改稿)

高考数学第一轮复习——立体几何(二)(理)(编辑修改稿)内容摘要：

AN⊥ CM，垂足为 N，连结 BN 在 PABRt 中， AM=MB，又 AC=CB ∴ △ AMC≌△ BMC ∴ BN⊥ CM，且 BN=AN，故∠ ANB为所求二面角的平面角 ∵ CB⊥ AC，由三垂线定理，得 CB⊥ PC 在 PCBRt 中， CM=MB，所以 CM=AM 在等腰三角形 AMC中， ACACCMMCAN 222 ∴ BNAN  5625223 ∵ AB=2 ∴ 322c os 222   BNAN ABBNANA NB 故所求二面角余弦值为 32 [例 10] 如图，在三棱锥 S— ABC中，△ ABC是边长为 4的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，SA=SC= 32 ， M， N分别为 AB， SB 的中点。 第 10 页 版权所有 不得复制 （ 1）证明： AC⊥ SB； （ 2）求二面角 N— CM— B的正切值； （ 3）求点 B到平面 CMN的距离。 解析： （ 1）取 AC 中点 D，连结 SD， DB，∵ SA=SC， AB=BC ∴ AC⊥ SD且 AC⊥ BD ∴ AC⊥平面 SDB，又 SB 平面 SDB ∴ AC⊥ SB （ 2）∵ AC⊥平面 SDB， AC 平面 ABC ∴ 平面 SB⊥平面 ABC，过 N作 NE⊥ DB于 E，则 NE⊥平面 ABC；过 E作 EF⊥ CM于 F，连结 NF，则 NF⊥ CM ∴ ∠ NFE为二面角 N— CM— B的平面角 ∵ 平面 SAC⊥平面 ABC， SD⊥ AC ∴ SD⊥ 平面 ABC 又 ∵ NE⊥平面 ABC ∴ NE//SD ∵ SN=NB ∴ 222121 ADSASDNE  241221  ，且 ED=EB 在正△ ABC中，由平面几何知识可求得 EF=41 MB=21 在 NEFRt 中， 22tan  EFENNE F 22tan NEF （ 3）在 NEFRt 中， 2322  ENEFNF ∴ 32321  NFCMS C M N， 3221  CMBMS C M B 设点 B到平面 CMN的距离为 h ∵ CMBNCMNB VV   ， NE⊥平面 CMB ∴ NEShSC M BC M N   3131 ∴ 3 24  CM NCM BS NESh 即点 B到平面 CMN的距离为 324 第 11 页 版权所有 不得复制 [例 11] 如图所示，正方体 ABCD— A1B1C1D1的棱长为 a ， E， F分别是 BB CD的中点。 （ 1）求证： AD⊥ D1F； （ 2）求 AE 与 D1F所成角的大小； （ 3）求点 F到平面 A1D1E的距离。 解析： （ 1） 证明： ∵ ABCD— A1B1C1D1为正方体 ∴ AD⊥平面 D1DCC1 ∵ D1F平面 D1DCC1 ∴ AD⊥ D1F （ 2）取 AB 的中点 G，连结 FG， AG， A1G与 AE 交于点 M ∵ F为 DC的中点 ∴ FG//AD，且 FG=AD ∴ FG//A1D1，且 FG=A1D1 ∴ 四边形 A1GFD1为平行四边形， GA1//D1F， A1G=D1F ∴ A1G与 AE 所成的角就是 AE 与 D1F所成的角 在正方形 A1ABB1中， G、 E分别为 AB， BB1的中点 ∴ △ A1AG≌△ ABE，∠ AA1G=∠ BAE ∴ ∠ AMA1=90176。 ∴ AE 与 D1F所成的角为 90176。 （ 3）在（ 2）中已证 FG//A1D1 ∴ FG//平面 A1D1E ∴ G点到平面 A1D1E的距离就是 F点到平面 A1D1E的距离 过点 G作 GH⊥ A1E于点 H，连结 EG ∵ A1D1⊥平面 A1ABB1 ∴ A1D1⊥ GH ∴ GH⊥平面 A1D1E ∴ GH为所求距离 ∵ 111111 121 AEBG B EAGAABBAECA SSSSGHEAS   ∴ aGH 1053 ，即 F点到平面 A1D1E的距离为 a1053 [例 12] 如图，  l 为 60176。 的二面角，等腰直角三角形 MPN 的直角顶点 P 在 l 上，M ， N ，且 MP 与  所成的角等于 NP与  所成的角。 第 12 页 版权所有 不得复制 （ 1）求证： MN分别与  、  所成角相等； （ 2）求 MN与  所成角。 （ 1） 证明： 作 NA⊥  于 A， MB⊥  于 B，连接 AP、 PB、 BN、 AM，再作 AC⊥ l 于。