高中数学题库_a集合与简易逻辑集合(编辑修改稿)

高中数学题库_a集合与简易逻辑集合(编辑修改稿)内容摘要：

于 100 的集合 S={a1, a2,„ ,a10}，我们计算 S 的“好子集” {x,y,z,w}的个数，这里 xy≤ zw， 且 x+w=y+z. 对 S 中满足 bc 的数对（ b,c）（共 190 对），考虑它们的差 bc，由于至多有 99 个不同的差（这里用反证法假设），故必须至少 91 个数对（ b, c），使得存在 b’, c’ ∈ S， 满足 b’b, c’c, 且 bc=b’c’，对这样的 91 个数对（ b, c），它与其相应的 b’, c’ 形成 S 的一个 4 元集 {b, c, b’, c’}，可得到 S的一个“好子集” {x, y, z, w}，且至多两个数对（ b, c）形成相同的子集 {x, y ,z, w}（只能是（ b,c） =(w, z)和（ w, y）），故 S 的“好子集”至少有 46 个。 另一方面， S 的“好子集” {x, y, z,w}的个数等于   )1(21ii ss，这里的 si为 S中满足b+c=I, b≤ c 的数对（ b, c）的个数，其中 i 为正整数。 注意到，对于每个 i, S中的每个元素 s 至多出现在上面的一个数对（ b, c）中（事实上，当 s≤ is 时， s 出现在数对（ s, is）中，其余情况出现在（ is, s）中），于是 si≤ 0is时 1 ≤ si≤ 10，故 55)1(21 iii sss，由于集合 {ai+aj|1≤ i≤ j≤ 20}中有 201 个不同的元素，故使得 si≥ 1 的正数 i有 201 个。 设 T 为这样的 i组成的集合，易知 s中有 220C 对（ b,c）满足 bc，有 20 对（ b,c）满足 b=c,所以  Ti i Cs 21020220 ，于是   Ti Ti iii sss )55()1(21 =5（ 210201）。 这与 s 的“好子集”至少有 46 个矛盾，所以，所给集合中至少有 100 个不同的元素。 来源： 08 年数学竞赛专题一 题型：解答题，难度：较难 集合 {1， 2，„， 3n}可以划分成 n 个互不相交的三元集合 },{ zyx ，其中 zyx 3 ，求满足条件的最小正整数 答案： 设其中第 i 个三元集为 ,2,1},{ nizyx ii  则 1+2+„ + ni izn 1 ,43 所以  ni iznn142)13(3。 当 n 为偶数时，有 n38 ，所以 8n ，当 n 为奇数时，有138 n ，所以 5n ，当 5n 时，集合 {1， 11， 4}， {2， 13， 5}， {3， 15， 6}， {9， 12，7}， {10， 14， 8}满足条件，所以 n 的最小值为 5。 来源： 08 年数学竞赛专题一 题型：解答题，难度：较难 设 S 是由 n2 个人组成的集合。 求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数。 答案： 证明：用反证法：设 S 为一个由 2n 个人组成的集合， S 中每两个人的公共朋友数为奇数， S 中的任意一个人 A，记 M={F1，„， Fn}为 A的朋友集。 可以证明：每个 A， k 都为偶数。 事实上，对每个 Fi∈ M，考虑它在 M 中的朋友数，所有这 k 个 Fi的这些朋友数之和为偶数（因为朋友是相互的），而对 A， Fi而言，其公共朋友数为奇数，故每个 Fi的这样的朋友数为奇数，故 k 为偶数。 设 k=2m，现在考虑每个 Fi∈ M，他的所有朋友集不包括 A，但不局限于 M 中他的这样的朋友数为奇数（因为 Fi的朋友数为偶数，而 A不算在内）。 因此，所有 2m个这 样的朋友集的元素个数之和为偶数。 从而在 2n1 个人（ A除外）中，必有一个人在偶数个这样的朋友集中出现，但与 A的公共朋友数为偶数。 这个矛盾表明有两个 S 中的人，他们的公共朋友数为偶数。 来源： 08 年数学竞赛专题一 题型：解答题，难度：较难 集合  NkkX },6,2,1{  ，试作出 X 的三元子集族 amp。 ，满足： （ 1） X 的任意一个二元子集至少被族 amp。 中的一个三元子集包含； （ 2） ）k 的元素个数表示 amp。 amp。 (6amp。 2。 答案： 先证明下面的引理。 引理：对于 n∈ N+，集合 X1={1， 2，„， 2n}的全部二元子集可分成 2n1组，且每组是X1的一个分划。 引理的证明：如图所示，将 1， 2，„， 2n1个数按顺时针方向放到一个正 2n1 边形的顶点上，数 2n 放在外接圆圆心上。 连接 2n 与 1，作 n1 条以 2n1 边形顶点为端点且垂直于 1 与2n 连线的线段，便得到 X1 的 n 个二元子集构成 X1的 n 个二元子集。 这样， X1 的全部 )12(22  nnC n 个二元子集被分成 2n1 组，且每组 n 个集合构成 X1的一个分划。 下面来做满足题设的子集族。 令 A={1， 2，„， 2k}， B={2k+1,2k+2,„ ,4k}， C={4k+1,4k+2,„ ,6k}。 由引理可知， A的全部二元子集可分为 2k1组，每组是 A的一个分划。 将其中一组重复一次，得到 A的 2k个分划，让其中每个分划与 B 的一个元素搭配作出 k 个 X 的三元子集。 类似地，作出 B 的 2k 个二元子集构成的分划，包含 B的全部二元子集，让其中每个分划与 C 的一个元素搭配作出 k 个 X 的三元子集；作出 C 的 2k 个二元子集构成的分划，包含 C 的全部二元子集，让其中每个分划与 A的一个元素搭配作出 k 个 X 的三元子集。 上面得到的 k2k3=6k2个 X 的三元子集组成的族 amp。 满足题设要求。 来源： 08 年数学竞赛专题一 题型：解答题，难度：较难 设 A， B是两个集合，又设集合 M满足 BAMBMA   ， BAMBA  求集合 M（用 A， B 表示）。 答案： 先证 MBA )(  ，若 )( BAx  ，因为 BAMA   ，所以 MxMAx  , ，所以 MBA )(  ； 再证 )( BAM  ，若 Mx ，则 .BAMBAx   1）若 Ax ，则BAMAx   ； 2）若 Bx ，则 BAMBx  。 所以 ).( BAM  综上， 来源： 08 年数学竞赛专题一 题型：解答题，难度：较难 设集合 A= },01),{( 2  xyyx B={ 05224),( 2  yxxyx }C= }),{( bkxyyx  ， 问：是否存在 Nbk , ，使得 CBA  )( ，并证明你的结论。 答案： 假设存在这样的 Nbk , ，则 CBA  )( ，所以    012 xybkxy ①与   bkxy yxx 05224 2 ②均无解，由①得 01)12( 222  bxkbxk ③。 ⅰ）若 0k ，则③有实根，所以 0k。 ⅱ）若 0k ，则③无解，所以0441 2  kb ④。 由②得 05)(224 2  bkxxx ，即025)1(24 2  bxkx 无解，所以 0)25(16)1(439。 2  bk。 化简得208)1( 2  bk ⑤，所以 2b。 （ 1）若 0b ，则④不成立；（ 2）若 1b ，则④仍不成立；（ 3）若 2b ，由⑤式得 4)1( 2 k ，所以 1k 或 2，又当 2k 时④式不成立。 所以 1k ，反之 2,1  bk 时，④，⑤均成立，从而①，②无解，所以存在 2,1  bk 满足条件。 来源： 08 年数学竞赛专题一 题型：解答题，难度：较难 集合 A， B， C 是 I={1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 0}的子集，（ 1）若 IBA  ，求有序集合对（ A， B）的个数；（ 2）求 I 的非空真子集的个数。 答案： （ 1）集合 I可划分为三个不相交的子集； A\B， B\A， IBA , 中的每个元素恰属于其中一个子集， 10 个元素 共有 310 种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有 310个。 （ 2） I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合 I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1 或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步， 2 也有两种，„，第 10步， 0也有两种，由乘法原理，子集共有 1024210  个，非空真子集有 1022 个。 来源： 08 年数学竞赛专题一 题型：解答题，难度：较难 设 A={1， 2， 3， 4， 5， 6}， B={7， 8， 9，„„， n}，在 A中取三个数， B 中取两个数组成五个元素的集合 iA ， .201,2,20,2,1  jiAAi ji  求 n 的最小值。 答案： .16min n 设 B 中每个数在所有 iA 中最多重复出现 k 次，则必有 4k。 若不然，数 m 出现 k 次（ 4k ），则 .123 k 在 m 出现的所有 iA 中，至少有一个 A中的数出现 3 次，不妨设它是 1，就有集合 {1， 121 , bmaa } },1{},,1{ 365243 bmaabmaa ，其中 61,  iAai ，为满足题意的集合。 ia 必各不相同，但只能是 2， 3， 4， 5， 6 这 5 个数，这不可能，所以 .4k 20 个 iA 中， B 中的数有 40 个，因此至少是 10 个不同的，所以 16n。 当 16n 时，如下 20 个集合满足要求： {1， 2， 3， 7， 8}， {1， 2， 4， 12， 14}， {1， 2， 5， 15， 16}， {1， 2， 6， 9，10}， {1， 3， 4， 10， 11}， {1， 3， 5， 13， 14}， {1， 3， 6， 12， 15}， {1， 4， 5， 7，9}， {1， 4， 6， 13， 16}， {1， 5， 6， 8， 11}， {2， 3， 4， 13， 15}， {2， 3， 5， 9，11}， {2， 3， 6， 14， 16}， {2， 4， 5， 8， 10}， {2， 4， 6， 7， 11}， {2， 5， 6， 12，13}， {3， 4， 5， 12， 16}， {3， 4， 6， 8， 9}， {3， 5， 6， 7， 10}， {4， 5， 6， 14，15}。 来源： 08 年数学竞赛专题一 题型：解答题，难度：较难 给定集合 },3,2,1{ nI  的 k 个子集： kAAA , 21  ，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求 k 的值。 答案： 将 I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得 12n 对，每一对不能同在这k 个子集中，因此， 12 nk ；其次，每一对中必有一个在这 k 个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为 C1A与 A，并设 1AA ，则 ACA 11  ，从而可以在 k 个子集中再添加 AC1 ，与已知矛盾，所以 12 nk。 综上， 12 nk。 来源： 08 年数学竞赛专题一 题型：解答题，难度：较难 求所有自然数 )2( nn ，使得存在实数 naaa , 21  满足： }.2 )1(,2,1{}1}{  nnnjiaa ji  答案：。